НПСФ 2022, Специална тема — Задача 1. Пирамида от топки

• а) $k_1 \ge \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \approx 0{,}318,\qquad k_2 \ge \frac{1}{4\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)} \approx 0{,}0795$

  Реакциите са $R_1 = mg/3$ и $R_2 = 4mg/3$, а $\sin\alpha = 1/\sqrt{3}$, $\cos\alpha = \sqrt{2}/\sqrt{3}$ ($\alpha \approx 35,3°$).

• б) $v_\infty = \sqrt{2gr\,(0{,}47354)^3} \approx 0{,}461\sqrt{gr}$

  Отлепването става при ъгъл $\varphi$, за който $(\cos\varphi)^3 + \frac{3}{2}\cos\varphi - \sqrt{\frac{2}{3}} = 0$, т.е. $\cos\varphi \approx 0,47354$. Числен коефициент $0,461$ (толеранс $\pm 0,002$).

а) Нека първо да изчислим ъгъла $\alpha$ между вертикалата и правата, минаваща през центровете на горната и една от долните топки. Тъй като вертикалата минава през средата $O$ на равностранния триъгълник, образуван от центровете на трите долни пирамиди, то триъгълникът, образуван от точка $O$, центъра на горната топка и центъра на една от долните топки е правоъгълен с хипотенуза с дължина $2r$ и хоризонтална страна с дължина $\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2r = \frac{2}{\sqrt{3}}r$. Следователно $\sin\alpha = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}r}{2r} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, $\alpha \approx 35,3°$. [0,5 т.]

Нека изберем правоъгълна координатна система с център точка $O$, хоризонтална ос $x$ и вертикална ос $y$ (виж чертежа). На чертежа е нарисувана само едната от долните 3 топки. За горната топка условието за равновесие по оста $y$ е: $-mg + 3R_1\cos\alpha + 3F_1\sin\alpha = 0$, [0,3 т.] (1) където $R_1$ е реакцията на опората, а $F_1$ – силата на триене при покой, действаща на горната топка от всяка една от долните топки. Условието за равновесие по оста $x$ е: $F_1\cos\alpha - R_1\sin\alpha - 2\cdot\frac{1}{2}F_1\cos\alpha + 2\cdot\frac{1}{2}R_1\sin\alpha = 0$. Последните 4 сили са тези, които действат на горната топка от двете ненарисувани на чертежа долни топки. Това условие всъщност е тъждество (следва от симетрията на задачата). За долната топка условието за равновесие по оста $y$ е: $-mg - R_1\cos\alpha - F_1\sin\alpha + R_2 = 0$, [0,4 т.] (2) а по оста $x$: $R_1\sin\alpha - F_1\cos\alpha - F_2 = 0$. [0,3 т.] (3) Условието за равновесие за долната топка включва и условието за липса на въртене (т.е. сумата от въртящите моменти, действащи на долната топка, да е нула): $F_1\cdot r - F_2\cdot r = 0$, откъдето $F_1 = F_2 = F$. (4) Уравнения (1), (2), (3) и (4) образуват система от 4 уравнения с 4 неизвестни: $F_1$, $F_2$, $R_1$ и $R_2$. Замествайки (4) в (1), (2) и (3), получаваме $-mg + 3R_1\cos\alpha + 3F\sin\alpha = 0$ (5), $-mg - R_1\cos\alpha - F\sin\alpha + R_2 = 0$ (6) и $R_1\sin\alpha - F\cos\alpha - F = 0$ (7). Изразявайки $F$ от (7), $F = \frac{R_1\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ [0,5 т.] и замествайки го в (5), се получава $mg = 3R_1\cos\alpha + 3F\sin\alpha$, $mg = 3R_1\cos\alpha + 3\,\frac{R_1\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\sin\alpha$, $mg = 3R_1$, откъдето $R_1 = \frac{mg}{3}$. [0,5 т.] Замествайки получените изрази за $F$ и $R_1$ в (6), получаваме $R_2 = \frac{4mg}{3}$. [0,5 т.] Тъй като $F_1$ и $F_2$ са сили на триене при покой, то $F_1 \le k_1R_1$ и $F_2 \le k_2R_2$. Замествайки с получените изрази за тези 4 сили и стойността на $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, се получава $k_1 \ge \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \approx 0,318$ [1,0 т.]; $k_2 \ge \frac{1}{4\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)} \approx 0,0795$. [1,0 т.]

б) От съображения за симетрия горната топка ще пада вертикално, а долните три ще се движат хоризонтално с равни скорости в посоки, сключващи ъгли $120°$. Докато горната топка се допира с тях, тя ще ги ускорява. Докато те се допират обаче, тяхното движение не е независимо, тъй като центровете на горната топка и на всяка от долните топки остават на разстояние $2r$. [0,5 т.] Нека височината на центъра на горната топка от т. $O$ (виж чертежа) е $y$, а разстоянието до центъра на всяка от долните топки от т. $O$ е $x$. Тогава, докато те се допират, $x^2 + y^2 = (2r)^2$ (1). Ако диференцираме (1), се получава $2xv_x + 2yv_y = 0$ (2), [0,5 т.] където $v_x$ и $v_y$ са съответно скоростите на долните и горната топки. Ако диференцираме (2), се получава $v_x{}^2 + xa_x + v_y{}^2 + ya_y = 0$. [0,5 т.] (3), където $a_x$ и $a_y$ са съответно ускоренията на долните и горната топки. Топките ще се допират дотогава, докато $a_x = 0$, а $a_y = -g$. [0,5 т.] От този момент нататък скоростите на долните топки повече няма да се променят и те ще достигнат максималната си скорост $v_\infty$. Нека тогава $v_y = v_{y\text{кр}}$. Замествайки в (3), получаваме $v_\infty{}^2 + v_{y\text{кр}}{}^2 - y_\text{кр}\cdot g = 0$. [0,5 т.] (4) В този момент $2x_\text{кр}v_\infty + 2y_\text{кр}v_{y\text{кр}} = 0$. (5) Тъй като няма триене, е изпълнен законът запазване на механичната енергия. Ако приравним енергията в началното положение (покой и центровете на четирите топки образуват тетраедър) и положението на отлепване на долните топки от горната, то $mg2r\cos\alpha = mg2r\cos\varphi + \frac{mv_{y\text{кр}}{}^2}{2} + \frac{3mv_\infty{}^2}{2}$ [0,5 т.] (6), където $\cos\varphi = \frac{y_\text{кр}}{2r}$. Нека изразим $v_{y\text{кр}}$ от (5), $v_{y\text{кр}} = -\frac{x_\text{кр}}{y_\text{кр}}v_\infty$, $v_{y\text{кр}} = -\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}v_\infty$ (7). Замествайки (7) в (4), $v_\infty{}^2 + \left(\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\right)^2 v_\infty{}^2 = g\cdot 2r\cos\varphi$, откъдето $v_\infty{}^2 = 2gr(\cos\varphi)^3$ [0,5 т.] (8). Замествайки (8) в (7) $v_{y\text{кр}}{}^2 = 2gr(\sin\varphi)^2\cos\varphi$ [0,5 т.] (9). Замествайки (8) и (9) в (6), се получава $mg2r\cos\alpha = mg2r\cos\varphi + \frac{m2gr(\sin\varphi)^2\cos\varphi}{2} + \frac{3m2gr(\cos\varphi)^3}{2}$, откъдето след опростяване се получава уравнението $(\cos\varphi)^3 + \frac{3}{2}\cos\varphi - \sqrt{\frac{2}{3}} = 0$. [0,5 т.] Това уравнение има единствено решение $\cos\varphi \approx 0,47354$. Следователно $v_\infty = \sqrt{2gr(0,47354)^3} \approx 0,461\sqrt{gr}$. [0,5 т.]