Съдържание

Условие Част I Трупче на пружина Част II Люлеещ се балон (2,5 т.)Решение

НПСФ 2023, 11. клас — Задача 2. Хармонични трептения (задачата се състои от две независими части)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2023

Национално пролетно състезание по физика 2023, тема за V състезателна група (11. клас) · 4 март 2023 г. · 10 т.

Условие

(задачата се състои от две независими части)

Част I Трупче на пружина

Пружина от точка О на таван, надолу до правоъгълно трупче с височина h; долната половина на трупчето е под нивото на водата във ваната.

Правоъгълно трупче с маса $m = 0{,}5\ \mathrm{kg}$ е окачено на безмасова пружина с коефициент на еластичност $k = 0{,}2\ \mathrm{kN/m}$ . Първоначално системата се намира в равновесие, като трупчето е наполовина потопено във вана с вода. Трупчето е натиснато надолу така, че $2/3$ от обема му е под водата. След това то е пуснато и започва да извършва вертикални хармонични трептения. Напречната площ на ваната е много по-голяма от напречната площ на трупчето, която е $S = 40\ \mathrm{cm^2}$ . Височината на трупчето е $h = 8\ \mathrm{cm}$ . Плътността на водата е $\rho = 1\ \mathrm{g/cm^3}$ . Може да приемете, че земното ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха и визкозитетът на водата да се пренебрегнат.

а) Определете с колко е разтегната пружината в равновесното състояние на системата. [2 т.]

б) Колко е периодът $T$ на трептенията на трупчето? [2 т.]

в) Определете максималната скорост $v_{\max}$ на трупчето по време на движението му. [1,5 т.]

г) Намерете големината на минималната сила $F_{\min}$ , приложена в точката на окачване на пружината (т. O), по време на трептенето. На колко е равна големината на максималната сила $F_{\max}$ в точката на окачване? [2 т.]

Част II Люлеещ се балон (2,5 т.)

Хелиев балон в горния край на наклонена нишка, закрепена за щрихован под; пунктирана вертикала показва малкия ъгъл на отклонение.

Малък балон, пълен с хелий, е окачен за пода на безмасова неразтеглива нишка, както е показано на фигурата вляво. Балонът е направен от материал с пренебрежима маса. При отклоненение на нишката на малък ъгъл спрямо вертикалата системата започва да трепти хармонично. Намерете периода $T$ на трептенията, ако знаете, че плътността на хелия е $\rho_{\mathrm{He}} = 0{,}18\ \mathrm{kg/m^3}$ , а плътността на въздуха е $\rho_{\mathrm{в}} = 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}$ . Дължината на махалото е $\ell = 2\ \mathrm{m}$ . Земното ускорение приемете за $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

Решение

Част I Трупче на пружина

а) В състояние на равновесие на трупчето действа сила на тежестта $mg$ надолу, Архимедова сила $\rho Sgh/2$ нагоре и еластична сила $k\Delta\ell_0$ (в случая нагоре), като $k\Delta\ell_0 + \frac{\rho Sgh}{2} = mg$ . [1 т.] Оттук разтежението на пружината е $\Delta\ell_0 = \frac{(2m-\rho Sh)g}{2k} = 1{,}7\ \mathrm{cm}$ . [1 т.]

б) Нека трупчето е отклонено на малко разстояние $x$ надолу от равновесното му положение. Тогава разтежението на пружината ще бъде $\Delta\ell = \Delta\ell_0 + x$ и еластичната сила ще има нова големина $k(\Delta\ell_0 + x)$ . Поради голямата напречна площ на ваната, нивото на водата няма да се промени съществено и Архимедовата сила ще стане $\rho Sg\left(\frac{h}{2} + x\right)$ . Сумарната сила върху трупчето ще действа нагоре с големина $k(\Delta\ell_0 + x) + \rho Sg\left(\frac{h}{2} + x\right) - mg = (k + \rho Sg)x$ , т.е. е квазиеластична с ефективен коефициент на еластичност $k + \rho Sg$ . [1 т.] Следователно периодът на хармоничните трептения на трупчето е $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k+\rho Sg}} \approx 0{,}29\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

в) Амплитудата $A = \frac{h}{6}$ на трептенията се определя от максималното отклонение на трупчето спрямо равновесното му положение, когато то е $2/3$ потопено във водата. От закона за запазване на енергията следва, че $\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{(k+\rho Sg)A^2}{2}$ и $v_{\max} = \frac{h}{6}\sqrt{\frac{k+\rho Sg}{m}} \approx 0{,}29\ \mathrm{m/s}$ . [1,5 т.]

г) Силата е минимална, когато пружината е най-малко разтегната, което съответства на най-високото положение на трупчето. Тогава разтежението на пружината е $\Delta\ell_{\min} = \Delta\ell_0 - A$ и $F_{\min} = k\Delta\ell_{\min} = k(\Delta\ell_0 - A) \approx 0{,}73\ \mathrm{N}$ . [1 т.] Максималната сила е при максимално разтягане и най-ниско положение на трупчето, когато разтежението е $\Delta\ell_{\max} = \Delta\ell_0 + A$ и $F_{\max} = k\Delta\ell_{\max} = k(\Delta\ell_0 + A) \approx 6{,}1\ \mathrm{N}$ . [1 т.]

Част II Люлеещ се балон

Балон в горния край на наклонена нишка; вертикални вектори F_A нагоре и G надолу през центъра на балона.

На балона, чийто обем ще означим с $V$ , действат три сили: силата на тежестта $G = \rho_{\mathrm{He}}Vg$ надолу, Архимедовата сила $F_{\mathrm{A}} = \rho_{\mathrm{в}}Vg$ вертикално нагоре и силата на опън, насочена по протежение на нишката към точката на окачване. Системата е аналогична на математично махало, но вместо само силата на тежестта да действа надолу, тук действа сила $F_{\mathrm{A}} - G = (\rho_{\mathrm{в}} - \rho_{\mathrm{He}})Vg$ нагоре. [1 т.] Като използваме, че масата на балона с хелия в него е $\rho_{\mathrm{He}}V$ , може да представим силата $F_{\mathrm{A}} - G = \rho_{\mathrm{He}}V\frac{(\rho_{\mathrm{в}}-\rho_{\mathrm{He}})g}{\rho_{\mathrm{He}}}$ , т.е. $\frac{(\rho_{\mathrm{в}}-\rho_{\mathrm{He}})g}{\rho_{\mathrm{He}}}$ играе ролята на ефективно „небесно“ ускорение. [0,5 т.] Оттук следва, че периодът на малките трептения е $T = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_{\mathrm{He}}}{\rho_{\mathrm{в}}-\rho_{\mathrm{He}}}\frac{\ell}{g}} \approx 1{,}2\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2023_11problems.pdf · официални решения: proletni_2023_11solutions.pdf