Съдържание

НПСФ 2023, 12. клас — Задача 1. Топлинни машини

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2023

Национално пролетно състезание по физика 2023, Тема 12. клас (Шеста възрастова група) · 5 март 2023 г. · 10 т.

Условие

А. Идеална топлинна машина работи по хладилен цикъл между резервоари с кипяща вода ( $100\ ^\circ\mathrm{C}$ ) и топящ се лед ( $0\ ^\circ\mathrm{C}$ ). Като резултат от работата на машината $1\ \mathrm{kg}$ вода от горещия резервоар се превръща във водни пари.

Полезни данни. Специфична топлина на парообразуване $\mathrm{r} = 2{,}26\ \mathrm{MJ/kg}$ , специфична топлина на топене на леда $\lambda = 0{,}335\ \mathrm{MJ/kg}$

А. а) Каква работа $\mathrm{A}$ е извършил външният източник? [2,5 т.]

А. б) Каква маса лед допълнително се е образувала в студения резервоар? [1 т.]

Б. а) Б. В стая през зимата поддържането на температура $20\ ^\circ\mathrm{C}$ се осъществява чрез електронагревател с мощност $500\ \mathrm{W}$ . Температурата на външния въздух е $-15\ ^\circ\mathrm{C}$ . За поддържане в стаята на същата температура може да се използва топлинна помпа вместо електронагревателя.

Опишете принципа на действие на разглежданата топлинна помпа. [1 т.]

Б. б) Каква минимална мощност ще консумира топлинната помпа от електрическата мрежа, ако тя работи с максимално възможна ефективност? [2,5 т.]

В. В. През лятото за поддържане на температура $20\ ^\circ\mathrm{C}$ се използва климатик при температура на външния въздух $40\ ^\circ\mathrm{C}$ . С колко трябва да се увеличи потребяваната от климатика мощност от електрическата мрежа, за да може да се поддържа в стаята същата температура след като се включи електрическа лампа с нажежаема нишка с мощност $\mathrm{P_0} = 150\ \mathrm{W}$ . Приемете, че климатикът работи с максимално възможна ефективност. [3 т.]

Отговори

Решение

А. а) В хладилния цикъл работното вещество получава количество топлина $\mathrm{Q_2}$ от студения топлинен резервоар с температура $\mathrm{T_2} = 273\ \mathrm{K}$ , отдава количество топлина $\mathrm{Q_1}$ на горещия топлинен резервоар с температура $\mathrm{T_1} = 373\ \mathrm{K}$ , при което външен източник извършва работа $\mathrm{A}$ върху работното тяло. [0,5 т.] Тези величини са свързани с равенството

\mathrm{A} = \mathrm{Q_1} - \mathrm{Q_2}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

В идеалната топлинна машина е изпълнено съотношението

(1)\qquad \frac{\mathrm{Q_1}}{\mathrm{T_1}} = \frac{\mathrm{Q_2}}{\mathrm{T_2}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От друга страна имаме

(2)\qquad \mathrm{Q_1} = \mathrm{m_1 r}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

С отчитане на последните две равенства намираме

A = \left(1 - \frac{T_2}{T_1}\right) m_1 r \approx 606\ \mathrm{kJ}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

б) Тъй като имаме

\mathrm{Q_2} = \mathrm{m_2}\lambda\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

можем да използваме (1) и (2), при което получаваме

\mathrm{m_2} = \frac{\mathrm{T_2}}{\mathrm{T_1}}\,\frac{\mathrm{r}}{\lambda}\,\mathrm{m_1} \approx 4{,}94\ \mathrm{kg}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Б. а) Топлинната помпа е топлинна машина, която работи по обратен (хладилен) цикъл. [0,25 т.] В конкретния случай работното вещество получава количество топлина $\mathrm{Q_2}$ от студения топлинен резервоар (външния въздух) с температура $\mathrm{T_2} = 258\ \mathrm{K}$ , отдава количество топлина $\mathrm{Q_1}$ на горещия топлинен резервоар (въздуха в стаята) с температура $\mathrm{T_1} = 293\ \mathrm{K}$ , при което външен източник (електричният ток) извършва работа $\mathrm{A}$ върху работното тяло. [0,5 т.] Ефективността на топлинната помпа се определя с коефициента $\psi = \mathrm{Q_1/A}$ , който показва колко ефективно се нагрява горещият резервоар в сравнение с вложената работа. [0,25 т.]

б) Ще означим с $\mathrm{q_1}$ количеството топлина, което се предава за една секунда на стайния въздух. Тогава имаме

\mathrm{q_1} = \mathrm{P}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Консумираната мощност от топлинната помпа е

\mathrm{P}' = \mathrm{q_1} - \mathrm{q_2}\,, \qquad \textbf{[0,25 т.]}

където $\mathrm{q_2}$ е количеството топлина, която се отнема от студения въздух за една секунда. Помпата има максимална ефективност, когато работи като идеална машина (обратен цикъл на Карно). [0,25 т.] Следователно е в сила равенството

(3)\qquad \frac{\mathrm{q_1}}{\mathrm{T_1}} = \frac{\mathrm{q_2}}{\mathrm{T_2}}\,. \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Окончателно намираме

\mathrm{P}' = \left(1 - \frac{\mathrm{T_2}}{\mathrm{T_1}}\right)\mathrm{P} \approx 59{,}7\ \mathrm{W}\,. \qquad \textbf{[1,25 т.]}

В. Климатикът работи като хладилник. Потребяваната мощност

\mathrm{P}'' = \mathrm{q_1}' - \mathrm{q_2}'\,. \qquad \textbf{[0,25 т.]}

Като отчетем равенство (3), получаваме

\mathrm{P}'' = \left(\frac{\mathrm{T_1}}{\mathrm{T_2}} - 1\right)\mathrm{q_2}'\,, \qquad \textbf{[1 т.]}

където $\mathrm{T_1} = 313\ \mathrm{K}$ , $\mathrm{T_2} = 293\ \mathrm{K}$ . [0,5 т.] Тъй като при включена лампа $\mathrm{q_2}'$ нараства с $\mathrm{P_0}$ , ще означим нарастването на $\mathrm{P}''$ с $\Delta\mathrm{P}$ . Следователно имаме

\Delta\mathrm{P} = \left(\frac{\mathrm{T_1}}{\mathrm{T_2}} - 1\right)\mathrm{P_0} \approx 10{,}2\ \mathrm{W}\,. \qquad \textbf{[1,25 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2023_12problems.pdf · официални решения: proletni_2023_12solutions.pdf