Съдържание

Условие Отговори Решение

НПСФ 2023, 12. клас — Задача 2. Идеален газ от електрони

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2023

Национално пролетно състезание по физика 2023, Тема 12. клас (Шеста възрастова група) · 5 март 2023 г. · 10 т.

Условие

Маса на електрона $\mathrm{m_0} = 9{,}1.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ ,

Константата на Планк $\mathrm{h} = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ,

Константата на Болцман $\mathrm{k} = 1{,}38.10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ .

А. В металите валентните електрони образуват газ, който на фона на йонните остатъци се разглежда като идеален (взаимодействието между електроните е пренебрежимо). Оценете концентрацията на електроните $\mathrm{n} = \mathrm{N/V}$ в електронния газ на метала $\mathrm{Cu}$ (мед), като отчетете, че всеки атом $\mathrm{Cu}$ отдава един електрон. Числото на Авогадро е $\mathrm{N_A} = 6{,}02.10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}$ , а конкретният метал се характеризира с моларна маса $\mu = 63{,}5\ \mathrm{g/mol}$ и плътност на масата $\rho = 8{,}9\ \mathrm{g/cm^3}$ . [1,5 т.]

Б. Получете формула, аналогична на тази от пункт А, за концентрацията на електроните $\mathrm{n} = \mathrm{N/V}$ в напълно йонизирани атоми на водородно-хелиева смес, в която отношението на масата на водорода $\mathrm{m_1}$ и масата на хелия $\mathrm{m_2}$ е $\mathrm{m_1/m_2} = \mathrm{p/q}$ . [2,5 т.]

В. Получете формула за температурата на електронния газ, когато средното разстояние $\bar{\mathrm{r}}$ между електроните е приблизително равно на дължината на вълната на Дьо Бройл $\lambda_{\mathrm{T}}$ , съответстваща на топлинното им хаотично движение. [3,5 т.]

Г. а) Г. Определете температурата от пункт В. в случаите:

а) за електронния газ в метала $\mathrm{Cu}$ (мед) [0,5 т.]

Г. б) б) за електронния газ в напълно йонизирана водородно-хелиева смес с плътност $\rho = 160\ \mathrm{g/cm^3}$ , за която $\mathrm{p} = 1$ , $\mathrm{q} = 2$ . Моларната маса на атомарния водород е $\mu_1 = 1\ \mathrm{g/mol}$ , а на хелия – $\mu_2 = 4\ \mathrm{g/mol}$ . [2 т.]

Отговори

А. $n = \frac{N}{V} = \frac{N_A}{V_\mu} = \frac{N_A\rho}{\mu} \approx 8{,}4.10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$
Б. $n = \frac{N}{V} = \frac{N_A\rho}{\mu},\qquad \mu = \frac{(p+q)\mu_1\mu_2}{2q\mu_1 + p\mu_2}$

Броят на електроните е $N = N_1 + 2N_2$ , а $m_1 = \frac{p}{p+q}m$ , $m_2 = \frac{q}{p+q}m$ .
В. $T_0 \approx \frac{h^2 n^{2/3}}{3 m_0 k}$

От $\bar{r} = (V/N)^{1/3} = n^{-1/3}$ и $\lambda_T = h/(m_0\upsilon_T)$ със средноквадратична скорост $\upsilon_T = \sqrt{3kT/m_0}$ .
Г. а) $T_0 \approx \frac{h^2 n^{2/3}}{3 m_0 k} \approx \frac{(6{,}63)^2.10^{-68}}{3.9{,}1.10^{-31}.1{,}38.10^{-23}}(85)^{2/3}.10^{18} \approx 1{,}6.10^{5}\ \mathrm{K}$

Стойността е отпечатаната в авторското решение; самото пресмятане по отпечатания израз дава $\approx 2{,}2.10^{5}\ \mathrm{K}$ .
Г. б) $\mu = \frac{3\mu_1\mu_2}{4\mu_1 + \mu_2} = 1{,}5\ \mathrm{g/mol},\quad n \approx 6{,}4.10^{31}\ \mathrm{m^{-3}},\quad T_0 \approx 1{,}9.10^{6}\ \mathrm{K}$

Стойността е отпечатаната в авторското решение; пресмятането по отпечатания израз дава $\approx 1{,}9.10^{7}\ \mathrm{K}$ .

Решение

А. Плътността на електроните се дава с израза

\mathrm{n} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{V}} = \frac{\mathrm{N_A}}{\mathrm{V}_\mu} = \frac{\mathrm{N_A}\rho}{\mu}\,, \qquad \textbf{[1 т.]}

откъдето получаваме $\mathrm{n} \approx 8{,}4.10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ . [0,5 т.]

Б. За случай на двукомпонентна система от водород и хелий от общата маса и отношението на масите на компонентите

\mathrm{m} = \mathrm{m_1} + \mathrm{m_2}\,,\quad \mathrm{m_1/m_2} = \mathrm{p/q}

намираме

\mathrm{m_1} = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p+q}}\mathrm{m}\,,\quad \mathrm{m_2} = \frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p+q}}\mathrm{m}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От друга страна имаме

(1)\qquad \mathrm{m_1} = \mathrm{N_1}\mathrm{m}^{(1)}\,,\quad \mathrm{m_2} = \mathrm{N_2}\mathrm{m}^{(2)}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където $\mathrm{m}^{(1)}$ и $\mathrm{m}^{(2)}$ са съответно масите на ядрата на водорода и хелия. За напълно йонизирана водородно-хелиева смес броят на електроните е

\mathrm{N} = \mathrm{N_1} + 2\mathrm{N_2}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като изразим $\mathrm{N_1}$ и $\mathrm{N_2}$ от (1), имаме

\mathrm{n} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{V}} = \frac{1}{\mathrm{p+q}}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}\left(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{m}^{(1)}} + 2\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{m}^{(2)}}\right) = \frac{\mathrm{N_A}\rho}{\mu}\,, \qquad \textbf{[1 т.]}

където

\mu = \frac{(\mathrm{p+q})\mu_1\mu_2}{2\mathrm{q}\mu_1 + \mathrm{p}\mu_2}\,. \qquad \textbf{[1 т.]}

В. Средното разстояние между електроните определяме по обема, който се пада на една частица. Тогава намираме

\bar{\mathrm{r}} = \left(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{N}}\right)^{1/3} = \mathrm{n}^{-1/3}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От друга страна дължината на вълната на Дьо Бройл е

\lambda_{\mathrm{T}} = \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{m_0}\upsilon_{\mathrm{T}}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като характерна скорост на топлинното движение при температура $T$ използваме средноквадратичната скорост

\upsilon_{\mathrm{T}} = \sqrt{\frac{3\mathrm{kT}}{\mathrm{m_0}}}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето получаваме

\lambda_{\mathrm{T}} \approx \frac{\mathrm{h}}{\sqrt{3\mathrm{m_0kT}}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тогава търсената температура е

(2)\qquad \mathrm{T_0} \approx \frac{\mathrm{h}^2\mathrm{n}^{2/3}}{3\mathrm{m_0k}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Г. а) Като използваме (2), намираме

\mathrm{T_0} \approx \frac{\mathrm{h}^2\mathrm{n}^{2/3}}{3\mathrm{m_0k}} \approx \frac{(6{,}63)^2.10^{-68}}{3.9{,}1.10^{-31}.1{,}38.10^{-23}}(85)^{2/3}.10^{18} \approx 1{,}6.10^{5}\ \mathrm{K}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

б) Първоначално пресмятаме моларната маса на сместа

\mu = \frac{3\mu_1\mu_2}{4\mu_1 + \mu_2} = 1{,}5\ \mathrm{g/mol}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

След това намираме плътността

\mathrm{n} = \frac{\mathrm{N_A}\rho}{\mu} = \frac{6{,}02.10^{23}\,0{,}16}{1{,}5.10^{-3}} \approx 6{,}4.10^{31}\ \mathrm{m^{-3}}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като използваме (2), намираме

\mathrm{T_0} \approx \frac{\mathrm{h}^2\mathrm{n}^{2/3}}{3\mathrm{m_0k}} \approx \frac{(6{,}63)^2.10^{-68}}{3.9{,}1.10^{-31}.1{,}38.10^{-23}}(64)^{2/3}.10^{20} \approx 1{,}9.10^{6}\ \mathrm{K}\,. \qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2023_12problems.pdf · официални решения: proletni_2023_12solutions.pdf