Съдържание

НПСФ 2023, 12. клас — Задача 3. Относителност на движението

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2023

Национално пролетно състезание по физика 2023, Тема 12. клас (Шеста възрастова група) · 5 март 2023 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показана движеща се система от тела под действие на постоянна сила $\mathrm{F}$ . Масата на голямата количка е $\mathrm{M}$ , а малките колички имат маси съответно $\mathrm{M_1}$ и $\mathrm{M_2}$ , като $\mathrm{M_2} > \mathrm{M_1}$ . Свързващата нишка е неразтеглива и с пренебрежима маса. Триенето се пренебрегва, а земното ускорение е известно и равно на $\mathrm{g}$ .

Голяма количка с маса M на колела върху хоризонтална повърхност, тласкана хоризонтално от сила F. Върху горната ѝ повърхност стои малка количка с маса M₁, свързана с нишка, която минава през макара в десния горен ъгъл на голямата количка и виси вертикално с окачено тяло с маса M₂ отстрани на количката. — Фиг. 2

Указание. Когато количката с маса $\mathrm{M}$ е неподвижна, тялото с маса $\mathrm{M_1}$ се движи с ускорение $\mathrm{a_0}$ спрямо нея, а така също и спрямо страничен наблюдател. Когато количката с маса $\mathrm{M}$ се движи с ускорение $\mathrm{a}$ спрямо външния наблюдател, а тялото с маса $\mathrm{M_1}$ с ускорение $\mathrm{a_1}$ спрямо нея, ускорението на тялото $\mathrm{M_1}$ спрямо външния наблюдател е $\mathrm{a} \pm \mathrm{a_1}$ в зависимост от посоката му на движение.

При извършване на пресмятанията и записването на крайния резултат използвайте означенията

\mathrm{m} = \mathrm{M} + \mathrm{M_1} + \mathrm{M_2}\,, \qquad \mu = \frac{\mathrm{M_1M_2}}{\mathrm{M_1} + \mathrm{M_2}}\,.

а) Намерете ускорението $\mathrm{a}$ на количката с маса $M$ и ускорението $\mathrm{a_1}$ , с което тялото с маса $\mathrm{M_1}$ се движи спрямо количката с маса $\mathrm{M}$ . [5 т.]

б) Определете силата на опън $\mathrm{T}$ на нишката. [1 т.]

в) В зависимост от големината на силата $\mathrm{F}$ определете всички възможни видове движения на телата с маси $\mathrm{M_1}$ и $\mathrm{M_2}$ спрямо количката с маса $\mathrm{M}$ [4 т.]

Отговори

Решение

а) Ще запишем уравнението на движение на всяко едно от телата спрямо страничен наблюдател, като отчетем, че силата на опън $T$ действа на макарата както в хоризонтална, така и във вертикална посока [0,5 т.]. При хоризонталното движение на количката масите $\mathrm{M}$ и $\mathrm{M_2}$ образуват единно цяло, при което имаме

(1)\qquad (\mathrm{M} + \mathrm{M_2})\mathrm{a} = \mathrm{F} - \mathrm{T}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

За движението на тялото 1, можем да запишем

(2)\qquad \mathrm{M_1}(\mathrm{a} + \mathrm{a_1}) = \mathrm{T}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

а като приемем, че вертикалното движение на тялото 2 е надолу, имаме

(3)\qquad \mathrm{M_2a_1} = \mathrm{M_2g} - \mathrm{T}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

От почленното събиране на (1) и (2) намираме

(4)\qquad (\mathrm{M} + \mathrm{M_1} + \mathrm{M_2})\mathrm{a} + \mathrm{M_1a_1} = \mathrm{F}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

а от събирането на (2) и (3) имаме

(5)\qquad \mathrm{M_1a} + (\mathrm{M_1} + \mathrm{M_2})\mathrm{a_1} = \mathrm{M_2g}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Уравненията (4) и (5) дават възможност да определим ускоренията $\mathrm{a}$ и $\mathrm{a_1}$ . Като елиминираме $\mathrm{a_1}$ , за $\mathrm{a}$ намираме израза

\left(\mathrm{m} - \frac{\mathrm{M_1}}{\mathrm{M_2}}\mu\right)\mathrm{a} = \mathrm{F} - \mu \mathrm{g}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където сме положили

\mathrm{m} = \mathrm{M} + \mathrm{M_1} + \mathrm{M_2}\,, \qquad \mu = \frac{\mathrm{M_1M_2}}{\mathrm{M_1} + \mathrm{M_2}}\,.

Окончателно за $\mathrm{a}$ имаме

\mathrm{a} = \frac{\mathrm{F} - \mu\mathrm{g}}{\mathrm{m} - \dfrac{\mathrm{M_1}}{\mathrm{M_2}}\mu}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

След като заместим този резултат в (4) или (5) намираме

\mathrm{a_1} = \frac{\mu}{\mathrm{M_1}}\,\frac{\mathrm{mg} - \dfrac{\mathrm{M_1}}{\mathrm{M_2}}\mathrm{F}}{\mathrm{m} - \dfrac{\mathrm{M_1}}{\mathrm{M_2}}\mu}\,. \qquad \textbf{[1 т.]}

б) Силата на опън $\mathrm{T}$ определяме от равенството (2) или (3), в което заместваме изразите за ускоренията $\mathrm{a}$ и $\mathrm{a_1}$ . След преобразуване на израза получаваме

\mathrm{T} = \frac{\mathrm{M_1}}{\mathrm{m} - \dfrac{\mathrm{M_1}}{\mathrm{M_2}}\mu}\left[\left(1 - \frac{\mu}{\mathrm{M_2}}\right)\mathrm{F} + \mu\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{M_1}} - 1\right)\mathrm{g}\right]\,. \qquad \textbf{[1 т.]}

в) Явният вид на ускорението $\mathrm{a_1}$ дава възможност да се изследват видовете движения на телата 1 и 2 в зависимост от големината на силата $\mathrm{F}$ при определени маси на телата. Направените пресмятания предполагат, че ускорението $\mathrm{a_1} > 0$ [0,5 т.], т. е.

\mathrm{F} < \frac{\mathrm{M_2}}{\mathrm{M_1}}(\mathrm{M} + \mathrm{M_1} + \mathrm{M_2})\mathrm{g}\,. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Това означава че тялото 1 се движи спрямо $M$ по посоката, опрелена от $\mathrm{F}$ , а тялото 2 се спуска надолу [0,5 т.]. Ако приложената сила $\mathrm{F}$ е

\mathrm{F} = \frac{\mathrm{M_2}}{\mathrm{M_1}}(\mathrm{M} + \mathrm{M_1} + \mathrm{M_2})\mathrm{g}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

ускорението $\mathrm{a_1} = 0$ , което означава че тялото 1 е неподвижно спрямо $M$ [0,5 т.]. В случай, че приложената сила $\mathrm{F}$ удовлетворява условието

\mathrm{F} > \frac{\mathrm{M_2}}{\mathrm{M_1}}(\mathrm{M} + \mathrm{M_1} + \mathrm{M_2})\mathrm{g}\,, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

ускорението $\mathrm{a_1} < 0$ [0,5 т.], т. е. при пресмятането избраната му от нас посока е обратна на истинската и тялото 1 се движи в посока противоположна на посоката на $\mathrm{F}$ , а тялото 2 се движи нагоре [0,5 т.].

Оригинал в Архива: proletni_2023_12problems.pdf · официални решения: proletni_2023_12solutions.pdf