НПСФ 2023, Специална тема — Задача 1. Търкалящо се тяло по наклонена равнина

• а) $\mu > \tan\alpha \iff n > 1$

  Условие за потегляне нагоре.

• б) $a_{\mathrm{хл}} = g\sin\alpha\,(n-1)$

• в) $t_{\mathrm{хл}} = \frac{\omega_0 r}{g\sin\alpha\left[n\left(1+\frac{1}{k}\right)-1\right]}$

• г) $v_{\mathrm{хл}} = \frac{\omega_0 r}{1+\frac{1}{k\left(1-\frac{1}{n}\right)}}$

• д) $l = \frac{(\omega_0 r)^2(n-1)}{2g\sin\alpha\left[n\left(1+\frac{1}{k}\right)-1\right]^2}$

• е) $n = 2 - \frac{1}{1+\frac{1}{k}},\qquad l_{max} = \frac{(\omega_0 r)^2}{2g\sin\alpha}\cdot\frac{k^2}{4(k+1)}$

• ж) $L = \frac{(k+1)r^2\omega_0^{\,2}}{2g\sin\alpha\left[1+\frac{1}{k\left(1-\frac{1}{n}\right)}\right]^2}$

• з) $a_{\mathrm{безхл}} = \frac{g\sin\alpha}{k+1}$

• и) $\frac{E_{\mathrm{кр}}}{E_0} = \frac{1}{1+\frac{1}{k\left(1-\frac{1}{n}\right)}},\qquad \left.\frac{E_{\mathrm{кр}}}{E_0}\right|_{max} = \frac{1}{1+\frac{1}{k}}\ \text{при } n\to\infty$

а) За да тръгне тялото нагоре, трябва силата на триене $F_{\mathrm{тр}} > mg\sin\alpha$. Тъй като $F_{\mathrm{тр}} = \mu R$, а реакцията на опората $R = mg\cos\alpha$, то $\mu mg\cos\alpha > mg\sin\alpha$, откъдето $\mu > \tan\alpha$ или $n > 1$. [0.5 т.]

б) $F_{\mathrm{тр}} - mg\sin\alpha = ma_{\mathrm{хл}}$, откъдето $a_{\mathrm{хл}} = \mu g\cos\alpha - g\sin\alpha = g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha) = g\sin\alpha\,(n-1)$. [0.5 т.]

в) Хлъзгането ще изчезне, когато линейната скорост $v$ на центъра на масата на тялото и неговата ъглова скорост $\omega$ са свързани така: $v = \omega r$. [0.2 т.] Линейната скорост нараства така: $v = a_{\mathrm{хл}}\,t$, [0.2 т.] а ъгловата скорост $\omega$ намалява така: $\omega = \omega_0 - \varepsilon t$, [0.2 т.] където ъгловото ускорение $\varepsilon = \dfrac{F_{\mathrm{тр}}\,r}{I}$. [0.2 т.] Следователно $a_{\mathrm{хл}}\,t_{\mathrm{хл}} = (\omega_0 - \varepsilon t_{\mathrm{хл}})r$. [0.2 т.] Така

г) Скоростта $v_{\mathrm{хл}}$ в момента, когато хлъзгането изчезне, е $v_{\mathrm{хл}} = a_{\mathrm{хл}}\,t_{\mathrm{хл}}$.

д) Докато се хлъзга, тялото ще измине път $l = \dfrac{1}{2}a_{\mathrm{хл}}t_{\mathrm{хл}}^{\,2}$,

е) За да бъде пътят $l$ максимален, функцията $f(n) = \dfrac{n-1}{\left[n\left(1+\frac{1}{k}\right)-1\right]^2}$, зависеща от $n$, трябва да има максимум. [0.2 т.] Тогава първата ѝ производна трябва да е нула.

откъдето $\left[n\left(1+\frac{1}{k}\right)-1\right] - (n-1)\cdot 2\cdot\left(1+\frac{1}{k}\right) = 0$. [0.2 т.] След опростяване $n = 2 - \dfrac{1}{1+\frac{1}{k}}$. [0.3 т.] Замествайки във формулата за пътя

ж) След изчезването на хлъзгането механичната енергия на тялото се запазва. Затова приравнявайки тази енергия в положението, когато хлъзгането изчезва, с положението, когато тялото е спряло в най-високата точка на движението си, $\dfrac{(kmr^2+mr^2)\omega_{\mathrm{хл}}^{\,2}}{2} = mgL\sin\alpha$ [0.5 т.] и замествайки $\omega_{\mathrm{хл}} = \dfrac{v_{\mathrm{хл}}}{r}$,

з) Ускорението $a_{\mathrm{безхл}} = \dfrac{v_{\mathrm{хл}}^{\,2}}{2L}$, които вече са изчислени.

и) Началната енергия е $E_0 = \dfrac{kmr^2\omega_0^{\,2}}{2}$. Енергията $E_{\mathrm{кр}}$ в момента, когато хлъзгането изчезва, е $E_{\mathrm{кр}} = \dfrac{(kmr^2+mr^2)\omega_{\mathrm{хл}}^{\,2}}{2} + mgl\sin\alpha$. Замествайки с получените $\omega_{\mathrm{хл}}$ и $l$,

След съкращаване $\dfrac{E_{\mathrm{кр}}}{E_0} = \dfrac{k+1}{k\left[1+\frac{1}{k\left(1-\frac{1}{n}\right)}\right]^2} + \dfrac{n-1}{k\left[n\left(1+\frac{1}{k}\right)-1\right]^2}$. [0.2 т.] След опростяване $\dfrac{E_{\mathrm{кр}}}{E_0} = \dfrac{1}{1+\frac{1}{k\left(1-\frac{1}{n}\right)}}$. [0.6 т.] Максималната стойност на отношението се получава при $n \to \infty$, $\left.\dfrac{E_{\mathrm{кр}}}{E_0}\right|_{max} = \dfrac{1}{1+\frac{1}{k}}$. [0.3 т.]