НПСФ 2023, Специална тема — Задача 1. Търкалящо се тяло по наклонена равнина

Пролетно национално състезание по физика, Варна, 5 март 2023 г. — Специална тема (седма възрастова група) · 5 март 2023 г. · 10 т.

Условие

Тяло с осева симетрия (цилиндър, кълбо и т.н.) има маса $m$, радиус $r$ и инерчен момент $I = kmr^2$ (спрямо ос, минаваща през центъра на масата му и перпендикулярна на чертежа, $k$ е известно число) се поставя върху наклонена равнина, сключваща ъгъл $\alpha$ с хоризонта. Началната му скорост е нула, а началната му ъглова скорост е $\omega_0$ (в посоката, показана на чертежа). Земното ускорение е $g$. Коефициентът на триене при хлъзгане между тялото и наклонената равнина е $\mu$. Тялото тръгва нагоре.

Изразявайте всички отговори чрез параметъра $n = \dfrac{\mu}{\tan\alpha}$! Също така не рационализирайте (в математическия смисъл на думата) отговорите, а ги представяйте във вид, съдържащ параметри на най-малко места и най-лесен за проверка в частни случаи или при изчисления!

а) При какви стойности на коефициента на триене $\mu$ тялото ще тръгне нагоре. [0,5 т.]

б) С какво ускорение $a_{\mathrm{хл}}$ ще се движи тялото, докато има хлъзгане? [0,5 т.]

в) Колко време $t_{\mathrm{хл}}$ ще се движи тялото с хлъзгане? [2 т.]

г) Колко ще е скоростта $v_{\mathrm{хл}}$ в момента, когато хлъзгането изчезне и тялото започне да се търкаля без хлъзгане? [0,5 т.]

д) Какъв път $l$ ще измине тялото, докато се хлъзга? [0,5 т.]

е) При каква стойност на параметъра $n$ пътят $l$ ще бъде максимален? [1.5 т.] Получете израз за този максимален път $l_{max}$. [2,5 т.]

ж) Какъв допълнителен път $L$ ще измине тялото нагоре без хлъзгане, преди да се върне обратно надолу? [1,5 т.]

з) С какво ускорение $a_{\mathrm{безхл}}$ ще се движи тялото, докато изминава пътя $L$? [0,5 т.]

и) Колко е отношението $\dfrac{E_{\mathrm{кр}}}{E_0}$ на крайната (когато тя престане да се променя) механична енергия $E_{\mathrm{кр}}$ и началната механична енергия $E_0$? При каква стойност на $n$ това отношение ще бъде максимално? [1,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2023_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2023_STsolutions.pdf