НПСФ 2023, Специална тема — Задача 2. Рентгенова прахова дифрактометрия

Пролетно национално състезание по физика, Варна, 5 март 2023 г. — Специална тема (седма възрастова група) · 5 март 2023 г. · 10 т.

Условие

Подредбата на атомите в твърдите тела може да се изследва с дифракция на рентгенови лъчи (тъй като тяхната дължина на вълната е сравнима с разстоянията между атомите). Транслационната симетрия на един кристал се описва с три вектора на транслация $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ (нележащи в една равнина). Така, ако в точка с радиус-вектор $\vec{r}_0$ се намира атом, то в точка $\vec{r}_{n_1n_2n_3} = \vec{r}_0 + n_1\vec{a} + n_2\vec{b} + n_3\vec{c}$ се намира идентичен на първия атом ($n_1n_2n_3$ са цели числа). В най-простия случай на така наречените „кубични кристали“ тези три вектора са перпендикулярни и равни по големина $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$. Разстоянието $a$ се нарича константа на решетката и се дава обикновено в Å (1 Å = $10^{-10}$ m). Във всяка равнина, в която лежат три атома, нележащи на една права, се намират безкрайно много атоми. Нещо повече, съществуват безкрайно много такива идентични успоредни равнини, разположени еквидистантно (разстоянието между най-близките се бележи с $d$). Тъй като рентгеновите лучи слабо се поглъщат от веществото, те проникват дълбоко и взаимодействат с голям брой атомни равнини. Ако дифрактиралата в някаква посока светлина от една такава равнина е във фаза с дифрактиралата светлина от съседната равнина, то в тази посока ще се наблюдава дифракционен максимум (виж фигурата).

Условието за наблюдение за дифракционен максимум се дава с уравнението на Брег (Bragg): $2d\sin\theta = m\lambda$. Забележете, че ъгълът $\theta$ не се мери спрямо нормалата, а спрямо атомната равнина! Тъй като има много такива семейства успоредни еквидистантни равнини, кристалът се държи като дифракционна решетка с много възможни параметри на дифракционната решетка $d_{hkl}$. В случая на кубични кристали необходимото условие за наблюдаване на дифракционен максимум се дава с уравнението $\dfrac{2a\sin\theta_{hkl}}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}} = \lambda$, където $a$ е параметърът на кубичната кристална решетка, а $h, k, l$ са цели числа. Съответно наблюдаваният дифракционен максимум се бележи (индексира) с $hkl$. Експериментално тази дифракция може да се наблюдава със следната установка (виж фигурата): Измерва се зависимостта на интензивността на ренгеновото лъчение от ъгъла $2\theta$. Пробата представлява пресован прах (огромен брой кристалчета с микронни размери), така че за всеки ъгъл да има подходящо ориентирани кристалчета за наблюдение на дифракционен максимум.

Случай на проста кубична решетка. В нея атоми са разположени във върховете на кубове (виж фигурата). Такъв е случаят на кристалната структура на $\alpha - \mathrm{Po}$ (алфа полоний). Дифракционната картина от такова вещество (дифрактограмата) е дадена на фигурата по-долу (при по-малки ъгли не се наблюдават максимуми). Тя е получена с монохроматично рентгеново лъчение с дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{Cu}\,\mathrm{K}\alpha_1} = 1{,}5406$ Å. Приемете, че се наблюдават дифракционни максимуми за всички възможни стойности на $h, k, l$ (възможни за изследвания интервал от ъгли).

Случай на обемноцентрирана кубична решетка. В нея атоми са разположени освен във върховете на кубовете, също така и в центровете на тези кубове (виж фигурата). Такава е кристалната структура на W (волфрам, tungsten). В този случай обаче има ограничения (правила на подбор) за стойностите на $h, k, l$, за които ще се наблюдават максимуми. Дифрактограмата от волфрам е дадена на фигурата по-долу (при по-малки ъгли не се наблюдават максимуми). Тя е получена със същото рентгеново лъчение.

а) Индексирайте с подходящи числа $hkl$ дифракционните максимуми на фигурата. [1 т.]

б) Използвайки графичен метод, изчислете в Å константата на решетката $a_{\mathrm{Po}}$ на $\alpha - \mathrm{Po}$. [2,7 т.]

в) Масата на атом полоний е 209 $u$ ($u = 1{,}660{\cdot}10^{-27}$ kg). Изчислете плътността $\rho_{\alpha-\mathrm{Po}}$ на алфа-полония. [0,3 т.]

г) Индексирайте с подходящи числа $hkl$ дифракционните максимуми на фигурата, ако е известно, че параметърът на решетката $a_{\mathrm{W}} < 5{,}00$ Å. Изследвайте възможните случаи. Постулирайте математическото правило на подбор, на което се подчиняват числата $h, k, l$ в индексите на наблюдаваните максимуми [3 т.]

д) Използвайки графичен метод, изчислете константата на решетката $a_{\mathrm{W}}$ на волфрама. [2,4 т.]

е) Атомната маса на волфрама е $183{,}84$ $u$ ($u = 1{,}660{\cdot}10^{-27}$ kg). Изчислете плътността $\rho_{\mathrm{W}}$ на волфрама. [0,6 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2023_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2023_STsolutions.pdf