НПСФ 2024, 10. клас — Задача 3. Заредена сфера в поле

• А) $l = \frac{1}{4g}\left(v_1^2 + v_2^2\right) = 0{,}75\ \mathrm{m};\qquad q = \frac{m}{4U}\left(v_1^2 + v_2^2\right) = 2{,}5\ \mu\mathrm{C}$

  В оригинала формулата за $q$ е отпечатана със знак плюс, но заместването е $(25 - 5)$ и стойността $2,5\ \mu$C отговаря на разликата.

• Б) $v_3 = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{2}} = 3{,}87\ \mathrm{m/s}$

• В) $U' = \frac{mgl}{q} = U\,\frac{v_1^2 + v_2^2}{v_1^2 - v_2^2} = 300\ \mathrm{V}$

А) Потенциалната енергия на сферата на височина l е $E_{\mathrm{п}0} = mgl$ [0,5 т]. Допълнителната енергия, която топчето получава, като се ускорява в еднородното електрично поле, е $A = qU$ [0,5 т]. Общата енергия, която ще има тялото на височина $h = 0$, е $E = E_{\mathrm{п}0} + \mathrm{A}$, която е трансформирана изцяло в кинетична. Тогава $E_{k1} = E_{\mathrm{п}0} + \mathrm{A} = \frac{mv_1^2}{2}$ [0,5 т]. Когато зарядът е с обратен знак енергията от електричното поле ще бъде с отрицателен знак или $E_{k2} = E_{\mathrm{п}0} - \mathrm{A} = \frac{mv_2^2}{2}$ [0,5 т]. Ако съберем двете уравнения получаваме $2E_{\mathrm{п}0} = \frac{m}{2}\left(v_1^2 + v_2^2\right)$, [1 т] или $l = \frac{1}{4g}\left(v_1^2 + v_2^2\right) = 0{,}75\ \mathrm{m}$ [1 т]. Ако извадим двете уравнения получаваме $2\mathrm{A} = \frac{m}{2}\left(v_1^2 - v_2^2\right) = 2qU$ [1 т]. Тогава $q = \frac{m}{4U}\left(v_1^2 + v_2^2\right) = \frac{0{,}1\ 10^{-3}}{4.200}\left(25 - 5\right) = 2{,}5\ \mu\mathrm{C}$. [1 т]

Б) При изключено напрежение $mgl = \frac{mv_3^2}{2}$. Изполвайки получен по-горе резултат, $v_3 = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{2}} =$ [1 т] $3{,}87\ \mathrm{m/s}$. [1 т]

В) За да е неподвижен зарядът, трябва $mg = qE = \frac{qU'}{l}$, откъдето $U' = \frac{mgl}{q}$. Използвайки вече получените резултати за $q$ и $l$, $U' = U\frac{v_1^2 + v_2^2}{v_1^2 - v_2^2} =$ [1 т] $300\ \mathrm{V}$. [1 т]