Съдържание

Условие Част 1. Игра с макара и конец (3,5 т.)Част 2. Игра с тънка пръчка (6,5 т.)Отговори Решение

НПСФ 2024, 11. клас — Задача 2. Пакостите на Том Сойер в час по физика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Пролетно национално състезание по физика 2024, тема за пета възрастова група (11. клас) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Част 1. Игра с макара и конец (3,5 т.)

Том Сойер е герой на Марк Твен, известен със своите пакости. Том си играе в час по физика с макара, върху която е намотан конец. Вътрешният радиус на макарата е $r$ , а външният – $R$ . Макарата е поставена върху хоризонтална опора. Том дърпа конеца в хоризонтална посока със скорост $v$ и бързо пресмята скоростта $u$ на оста на макарата. При търкалянето си върху опората макарата не приплъзва. Разгледайте и двата случая от фиг. 3а и 3б, показани на чертежа.

Две макари с външен радиус R и вътрешен r върху хоризонтална опора; в случай 3а конецът излиза отгоре, в 3б – отдолу.

А) С каква скорост $u$ и в каква посока ще се движи оста на макарата? [2,5 т.]

Б) Ще се навива или ще се развива конецът от макарата? [1 т.]

Част 2. Игра с тънка пръчка (6,5 т.)

Том Сойер пак си играе в часа по физика, но този път с еднородна тънка пръчка с дължина $L$ .

А) Том поставя тънката пръчка върху гладкия чин. Единият край на пръчката е завързан за конец. Том започва бавно да вдига конеца вертикално нагоре и по този начин повдига пръчката. Когато ъгълът между пръчката и повърхността на чина става равен на $\alpha$ вертикалния конец се скъсва. На какво разстояние $x$ ще се отмести при падането си долния край на пръчката? Триене няма.

Пръчка, наклонена под ъгъл алфа върху чин, с конец нагоре и означено отместване x.

[1 т.]

Том Сойер решава да закрепи пръчката на ръба на чина. Профилът на ръба на чина и мястото на поставяне на пръчката са показани на чертежа. Той поставя пръчката почти вертикално и я пуска. При падането си пръчката образува променящ се ъгъл $\Theta$ спрямо вертикалата.

Пръчка, опряна на ръба на чин, наклонена на ъгъл тета спрямо вертикалата, с хоризонтална и вертикална сила.

Б) Изразете чрез ъгъла $\Theta$ и $L$ ъгловата скорост $\omega$ , нормалното $a_\mathrm{n}$ и тангенциалното ускорение $a_\tau$ на центъра на масата на пръчката. Инерчният момент на пръчката около ос на въртене, минаваща през нейният край, е $I = mL^2/3$ . [2,5 т.]

В) Ръбовете на масата действат върху пръчката с две сили – хоризонтална $F_X$ и вертикална сила $F_B$ . Изразете големините на двете сили чрез ъгъл $\Theta$ и намерете стойността на ъгъла $\Theta$ между пръчката и вертикалата в момента, в който пръчката се откъсва от ръба на масата. [3 т.]

Отговори

Решение

Част 1

А)

Двете макари с означени скорости u на оста и v на конеца, и точка на допир с опората.

За случая 3 а:

Разглеждаме въртене спрямо точката на допир между макарата и опората. От равенство на ъгловата скорост, следва че:

$u = \dfrac{Rv}{R+r}$ (1 т)

За случая 3 б аналогично:

$u = \dfrac{Rv}{R-r}$ (1 т)

И за двата случая макарата ще се движи по посока на скоростта $v$ . (0,5 т)

Б) За случая 3а, понеже $u < v$ конеца се размотава от макарата (0,5 т)

За случая 3б, понеже $u > v$ конецът се намотава на макарата (0,5 т)

Част 2

Пръчка върху чин с означени точки A, A1, O, O1, разстояние x и ъгъл алфа.

А) В момента след скъсването на нишката на пръчката действат само две сили – силата на тежестта и на реакция на опората. Тези две сили са вертикални и не могат да предизвикат изменение в импулса на пръчката в хоризонтална посока. Това означава, че центъра на масата на пръчката ще се движи само по вертикалата. Центъра на масата т. $O$ ще се движи по отсечката $OO_1$ . От чертежа следва, че долния край ще се отмести на разстояние (0,5 т):

$x = A_1O_1 - AO_1 = \dfrac{L}{2}(1-\cos\alpha) = L\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ (0,5 т)

Пръчка на ръба на чин с означени сили и нормално и тангенциално ускорение.

Б) При падането на пръчката, т.е. при завъртането си потенциалната енергия $mgL(1 - \cos\Theta)/2$ преминава в кинетична енергия на движение. Инерчния момент на пръчката около ос на въртене, минаваща през нейният край, е $I = mL^2/3$ (0,5 т):

$\omega^2 = \dfrac{3g(1-\cos\Theta)}{L}$ (0,5 т)

Лесно намираме $a_\mathrm{n}$ :

$a_\mathrm{n} = \dfrac{\omega^2L}{2} = \dfrac{3g(1-\cos\Theta)}{2}$ (0,5 т)

Тангенциалното ускорение $a_\tau$ се намира чрез момента на въртене на силата на тежестта $mg(L/2)\sin\Theta$ : (0,5 т)

$a_\tau = \dfrac{3g\sin\Theta}{4}$ (0,5 т)

В) Големината на хоризонталната сила е:

$F_x = m(a_\tau\cos\Theta - a_\mathrm{n}\sin\Theta)$ (0,5 т)

$mg - F_y = m(a_\mathrm{n}\cos\Theta + a_\tau\sin\Theta)$ (0,5 т)

След като използваме изразите за намерените ускорения:

$F_x = 3mg\dfrac{3\cos\Theta-2}{4}\cdot\sin\Theta$ (0,5 т)

$F_y = mg\dfrac{(3\cos\Theta-1)^2}{4}$ (0,5 т)

Хоризонталната сила става равна на нула преди вертикалната. Следователно е достатъчно да изследваме само $F_x$ .

$F_x = 3mg\dfrac{3\cos\Theta-2}{4}\cdot\sin\Theta = 0$ (0,5 т)

Граничния ъгъл, при който ще се откъсне пръчката от чина е:

$\cos\Theta = \dfrac{2}{3}$ или $\Theta = 48^\circ$ (0,5 т)

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Въртене на твърдо тяло · Работа и енергия · Център на масите

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: 11_11-klas-zadachy.pdf · официални решения: 11_11-klas-reshenyja.pdf