НПСФ 2024, 11. клас — Задача 3. Пружини, ускорения и трептене

Част 1

А) На долното топче $m$ му действа сила на тежестта $mg$, която се уравновесява от силата на еластичност $kx$ ($mg = kx$) На горното топче му действа сила на тежестта $m_1g + kx$. (1 т)

Следователно в момента на пускане ускоренията са:

$a = 0$ (1 т)

$m_1a_1 = m_1g + kx = 2mg + mg = 3mg$

$a_1 = 3g/2$ (1 т)

Част 2

А) Търсените разстояния $x$ и $y$ спрямо т.$O$ са:

$x = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\cdot l$ (1 т)

$y = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\cdot l$ (1 т)

На системата действат само вътрешни сили. Следователно центъра на масите т.$O$, в контекста на задачата, е неподвижен. (1 т)

Б) След като т.$O$ е неподвижна, следва че можем да разглеждаме трептенията на двете теглилки като всяка свързана към пружина съответно с дължина $x$ и $y$ и коефициенти на еластичност $k_1$ и $k_2$.

$\dfrac{k_1}{k} = \dfrac{l}{x}$ (0,5 т)

$\dfrac{k_2}{k} = \dfrac{l}{y}$ (0,5 т)

Следователно:

$k_1 = k\cdot\dfrac{m_1+m_2}{m_2}$ (0,5 т)

$k_2 = k\cdot\dfrac{m_1+m_2}{m_1}$ (0,5 т)

Периодите на трептене на двете теглилки са равни на:

$T_1 = T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_2}{k_2}}$ (1 т)

$T_1 = T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{(m_1+m_2)k}}$ (1 т)