Съдържание

НПСФ 2024, 12. клас — Задача 1. История на физиката – топлинни явления

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Национално пролетно състезание по физика 2024, Тема 12. клас (Шеста възрастова група) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

В началото на 19-ти век от експеримента е известно, че всички газове при достатъчно разреждане имат еднакво поведение. Идеализираната система със свойствата на силноразредените газове при всички стойности на параметрите се нарича идеален газ. Ако температурата се определя по скалата на Целзий ( $\theta = 0\,{}^\circ\mathrm{C}$ в точката на замръзване на водата и $\theta = 100\,{}^\circ\mathrm{C}$ за кипяща вода при нормално атмосферно налягане $\mathrm{P}_0 = 101,3\,\mathrm{kPa}$ ), са установени следните газови закони:

\mathrm{PV} = \mathrm{const}\quad \text{при } \theta = \mathrm{const}\ \text{(закон на Бойл–Мариот)},

\mathrm{P} = \mathrm{P}_0(1 + \alpha_\mathrm{V}\theta)\quad \text{при } \mathrm{V} = \mathrm{const}\ \text{(закон на Шарл)},

\mathrm{V} = \mathrm{V}_0(1 + \alpha_\mathrm{P}\theta)\quad \text{при } \mathrm{P} = \mathrm{const}\ \text{(закон на Гей-Люсак)},

където $\alpha_\mathrm{V}$ и $\alpha_\mathrm{P}$ са константи, а при налягане $\mathrm{P}_0$ обемът на един mol е $\mathrm{V}_0^{\mathrm{mol}} = 22,4\,\mathrm{L}$ (литра).

а) Покажете, че за идеален газ $\alpha_\mathrm{V} = \alpha_\mathrm{P} = \alpha$ . [3 т.]

б) Експериментално е установено, че

\alpha = \frac{1}{273,15}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Като използвате газовите закони въведете температурната скала на Келвин и получете нейните основни свойства. Определете стойността на температурната нула на всяка скала в другата [3 т.]

в) Запишете газовите закони чрез температура по скалата на Келвин. [0,5 т.]

г) Получете уравнението на състояние на идеалния газ. [3,5 т.]

Отговори

Решение

а) За да покажем равенството на коефициентите в случай на идеален газ, разглеждаме следните състояния и връзките между тях:

\boxed{\mathrm{P}_0, \mathrm{V}_0, \theta = 0\,{}^\circ\mathrm{C}} \xrightarrow{\ \mathrm{P=const}\ } \boxed{\mathrm{P}_0, \mathrm{V}, \theta} \xrightarrow{\ \theta=\mathrm{const}\ } \boxed{\mathrm{P}, \mathrm{V}_0, \theta}. \qquad \textbf{(1 т.)}

При изобарния процес имаме

\mathrm{V} = \mathrm{V}_0(1 + \alpha_\mathrm{P}\theta), \qquad \textbf{(0,5 т.)}

а при изотермния –

\mathrm{PV}_0 = \mathrm{P}_0\mathrm{V} = \mathrm{P}_0\mathrm{V}_0(1 + \alpha_\mathrm{P}\theta), \qquad \textbf{(0,5 т.)}

което е еквивалентно на равенството

\mathrm{P} = \mathrm{P}_0(1 + \alpha_\mathrm{P}\theta) = \mathrm{P}_0(1 + \alpha_\mathrm{V}\theta). \qquad \textbf{(0,5 т.)}

От последното равенство следва

\alpha_\mathrm{P} = \alpha_\mathrm{V} = \alpha. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

б) При $\mathrm{V} = \mathrm{const}$ налягането може да се запише във вида

\mathrm{P} = \mathrm{P}_0(1+\alpha\theta) = \mathrm{P}_0\alpha\left(\frac{1}{\alpha} + \theta\right), \quad \alpha = \frac{1}{273,15}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

Тогава можем да въведем нова температурна скала (скала на Келвин), в която температурата се дава с израза

\mathrm{T} = \frac{1}{\alpha} + \theta. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

Тъй като налягането е неотрицателно, температурата по Келвин е $\mathrm{T} \geq 0$ . (0,5 т.) Освен това от равенството $\Delta\mathrm{T} = \Delta\theta$ следва избор на единицата $1\,\mathrm{K} = 1\,{}^\circ\mathrm{C}$ . (0,5 т.) Тогава температурата по Целзий $\theta_0$ , при която $\mathrm{T} = 0$ , е

\theta_0 = -\frac{1}{\alpha} = -273,15\,{}^\circ\mathrm{C}, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

а температурата $\mathrm{T}_0$ , при която $\theta = 0\,{}^\circ\mathrm{C}$ , е

\mathrm{T}_0 = \frac{1}{\alpha} = 273,15\,\mathrm{K}. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

в) Следователно можем да запишем

\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{T}} = \frac{\mathrm{P}_0}{\mathrm{T}_0} = \mathrm{const}, \qquad \mathrm{V} = \mathrm{const}, \qquad \textbf{(0,25 т.)}

\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{T}} = \frac{\mathrm{V}_0}{\mathrm{T}_0} = \mathrm{const}, \qquad \mathrm{P} = \mathrm{const}. \qquad \textbf{(0,25 т.)}

г) От последните две равенства можем да получим уравнението на състояние на идеалния газ, като свържем състоянията

\boxed{\mathrm{P}_0, \mathrm{V}_0, \mathrm{T}_0} \xrightarrow{\ \mathrm{V=const}\ } \boxed{\mathrm{P}, \mathrm{V}_0, \mathrm{T}'} \xrightarrow{\ \mathrm{P=const}\ } \boxed{\mathrm{P}, \mathrm{V}, \mathrm{T}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Тогава състоянията 1 и 2 са свързани с равенството

\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{T}'} = \frac{\mathrm{P}_0}{\mathrm{T}_0}, \qquad \textbf{(0,25 т.)}

а състоянията 2 и 3 –

\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{T}} = \frac{\mathrm{V}_0}{\mathrm{T}'}. \qquad \textbf{(0,25 т.)}

За състоянията 1 и 3 имаме

\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}} = \frac{\mathrm{P}_0\mathrm{V}_0}{\mathrm{T}_0}. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

Като разделим това равенство на броя молове $\mathrm{n}$ намираме

\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{nT}} = \frac{\mathrm{P}_0(\mathrm{V}_0/\mathrm{n})}{\mathrm{T}_0} = \frac{1{,}013.10^5(\mathrm{N.m}^{-2}).22{,}4.10^{-3}(\mathrm{m}^3.\mathrm{mol}^{-1})}{273{,}15\,\mathrm{K}} \approx 8{,}31\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol.K}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Получената стойност е стойността на универсалната газова константа $\mathrm{R}$ . Тогава получаваме израза

\mathrm{PV} = \mathrm{nRT}, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

което е уравнението на състояние на идеалния газ.

Оригинал в Архива: 12_12-klas-zadachy.pdf · официални решения: 12_12-klas-reshenyja.pdf