Съдържание

НПСФ 2024, 12. клас — Задача 3. Термодинамичен процес

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Национално пролетно състезание по физика 2024, Тема 12. клас (Шеста възрастова група) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

В тънък вертикален цилиндър с височина 152 cm горната половина е запълнена с живак, а долната – с въздух. Първоначално на въздуха бавно се подава топлина, той се разширява и живакът започва да прелива. Разширението на въздуха продължава до пълното изливане на живака, като към края на процеса въздухът вече не получава, а отделя топлина. Атмосферното налягане е $\mathrm{P}_0 = 1,01.10^5\,\mathrm{Pa}$ , плътността на живака е $\rho = 13,6\,\mathrm{g/cm}^3$ . Началната температура на газа е $\mathrm{T}_0$ . Намерете:

а) началното налягане на газа [2 т.]

б) уравнението на процеса на разширение на газа до пълното преливане на живака и начертайте графиката на процеса на $\mathrm{P},\mathrm{V}$ - диаграма [3,5 т.]

в) израз за температурата на газа като функция на обема му за разглеждания процес. Начертайте графиката на температурата до пълното изливане на живака. [4,5 т.]

Отговори

Решение

а) Началното налягане на газа е

\mathrm{P}_1 = \mathrm{P}_0 + \rho \mathrm{gh}, \qquad \textbf{(1 т.)}

където $\mathrm{h} = \mathrm{H}/2 = 0,76\,\mathrm{m}$ . Като използваме конкретните стойности, за налягането, упражнявано от живака върху газа, намираме

\rho\mathrm{gh} = 13{,}6.10^3 \times 9{,}81 \times 0{,}76\ \mathrm{Pa} \approx 1{,}01.10^5\ \mathrm{Pa} = \mathrm{P}_0. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

Следователно имаме

\mathrm{P}_1 = 2\mathrm{P}_0. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

б) Нека при нагряването газът да е увеличил своя обем с $\mathrm{V}_1 = \mathrm{xS}$ , т.е. обемът му е

\mathrm{V} = \mathrm{hS} + \mathrm{xS} = \mathrm{V}_0\left(1 + z\right), \qquad \textbf{(0,5 т.)}

където $\mathrm{V}_0$ е началният му обем, а безразмерната величина $z = \mathrm{x/h}$ . Налягането на газа в това състояние е

\mathrm{P} = \mathrm{P}_0 + \rho\mathrm{g}(\mathrm{h} - \mathrm{x}) = \mathrm{P}_0\left(2 - z\right). \qquad \textbf{(0,5 т.)}

Тогава можем да запишем

\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{V}_0} = 1 + z, \qquad \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{P}_0} = 2 - z, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

откъдето следва равенството

\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{P}_0} + \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{V}_0} = 3. \qquad \textbf{(1 т.)}

На $\mathrm{P},\mathrm{V}$ - диаграма (фиг. 1), където по оста $0\mathrm{x}$ се нанасят стойностите на $\mathrm{V}/\mathrm{V}_0$ , а по оста $0\mathrm{y}$ – стойностите на $\mathrm{P}/\mathrm{P}_0$ , графиката на процеса е отсечка, свързваща точките $(1,2)$ и $(2,1)$ . (1 т.)

Графика на процеса на P,V-диаграма: отсечка от точка (1, 2) до точка (2, 1) в координати V/V0 по абсцисата и P/P0 по ординатата, със стрелка по посока на процеса. — Фиг. 1

Графика на t = T/T0 като функция на z: парабола, започваща от t = 1 при z = 0, с максимум t = 9/8 при z = 1/2 и връщаща се до t = 1 при z = 1. — Фиг. 2

в) За да намерим как се променя температурата на газа при разглеждания процес, използваме връзката на параметрите на началното състояние и тези, когато той е увеличил обема си с $\mathrm{V}_1$ :

\frac{2\mathrm{P}_0\mathrm{V}_0}{\mathrm{T}_0} = \frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Това равенство може да се запише във вида

\mathrm{T} = \mathrm{T}_0\left[\frac{1}{2}(2-z)(1+z)\right] = \mathrm{T}_0 t. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

Като отделим пълен квадрат, имаме

t = \frac{9}{8} - \frac{1}{2}\left(z - \frac{1}{2}\right)^2. \qquad \textbf{(1 т.)}

Следователно графиката на $t = \mathrm{T}/\mathrm{T}_0$ в зависимост от $z = \mathrm{V}_1/\mathrm{V}_0$ има универсален вид и е показана на фиг. 2. (1 т.) От диаграмата следва, че температурата на газа се повишава от $\mathrm{T}_0$ до $(9/8)\mathrm{T}_0$ , когато обемът му се променя от $\mathrm{V}_0$ до $(3/2)\mathrm{V}_0$ , и след това се понижава до $\mathrm{T}_0$ , когато обемът му нараства $(3/2)\mathrm{V}_0$ до $2\mathrm{V}_0$ . (1 т.)

Оригинал в Архива: 12_12-klas-zadachy.pdf · официални решения: 12_12-klas-reshenyja.pdf