НПСФ 2024, 8. клас — Задача 2. Теглилки на триеща се нишка

• а) $\left(\frac{m_\mathrm{д}}{m_\mathrm{л}}\right)_\mathrm{min} = 4k = 1$
• б) $\frac{m_\mathrm{д}}{m_\mathrm{л}} = \frac{8(kg+a_\mathrm{л})}{2g-a_\mathrm{л}} = 2$
• в) $a'_\mathrm{л} = \frac{2gm_\mathrm{д}}{m_\mathrm{д}+8m_\mathrm{л}} = 4\ \mathrm{m/s^2}$

а) Първоначално на лявата теглилка действа силата на тежестта $G_\mathrm{л} = m_\mathrm{л}g$ надолу, реакцията на опората $R = G_\mathrm{л}$ нагоре, силата на опън $T_\mathrm{л}$ надясно и силата на триене $f = kR = km_\mathrm{л}g$ наляво. [0,5 т.] По условие силата на опън на нишката отдясно на ръба е $T_\mathrm{д} = 2T_\mathrm{л}$. На дясната теглилка действа силата на тежестта $G_\mathrm{д} = m_\mathrm{д}g$, но силата на опън от страна на подвижната макара е $2T_\mathrm{д}$ (поради факта, че макарата е безмасова). [0,5 т.] Ако системата е на границата между движението и покоя, $T_\mathrm{л} = km_\mathrm{л}g$ и $m_\mathrm{д}g = 2T_\mathrm{д} = 4T_\mathrm{л}$. [1 т.] От двете уравнения следва, че $\left(\dfrac{m_\mathrm{д}}{m_\mathrm{л}}\right)_\mathrm{min} = 4k = 1$. [1 т.]

б) Като приложим II принцип на Нютон, ще получим: $T_\mathrm{л} - km_\mathrm{л}g = m_\mathrm{л}a_\mathrm{л}$ [1 т.] (за лявата теглилка) и $m_\mathrm{д}g - 4T_\mathrm{л} = m_\mathrm{д}a_\mathrm{д}$ [1 т.] (за дясната теглилка). Може да се съобрази, че $a_\mathrm{л} = 2a_\mathrm{д}$, тъй като лявата теглилка изминава двойно по-голям път от дясната теглилка, а пътят е пропорционален на ускорението при движение без начална скорост. [0,5 т.] От горните уравнения следва, че $\dfrac{m_\mathrm{д}}{m_\mathrm{л}} = \dfrac{8(kg+a_\mathrm{л})}{2g-a_\mathrm{л}} = 2$. [1,5 т.]

в) В този случай уравненията на Нютон за двете теглилки са: $T'_\mathrm{л} = m_\mathrm{л}a'_\mathrm{л}$ [0,5 т.] (за лявата теглилка) и $m_\mathrm{д}g - 4T'_\mathrm{л} = m_\mathrm{д}a'_\mathrm{л}/2$ [1 т.] (за дясната теглилка). Оттук следва, че $a'_\mathrm{л} = \dfrac{2gm_\mathrm{д}}{m_\mathrm{д}+8m_\mathrm{л}} = 4\ \mathrm{m/s^2}$. [1,5 т.]