НПСФ 2024, Специална тема — Задача 1. От „П“ към „М“

• а) $\cos\alpha = \tfrac{1}{2},\quad \alpha = 60^\circ$

  Условие за равновесие на средното тяло: $mg = 2mg\cos\alpha$.

• б) $L = \tfrac{4}{3}d$

  От запазване на енергията $s = L/2$ и от геометрията $(d+s)^2 = d^2 + L^2$.

• в) $v_{\text{рав}} = \sqrt{\tfrac{4}{3}gd\left(2-\sqrt{3}\right)}$

  Равновесното положение е при $y = d/\sqrt{3}$.

• г) $v_{max} \approx 0{,}621\sqrt{gd},\qquad H \approx 0{,}415\,d$

  Максимумът на $f(x) = \frac{1+x^2}{1+3x^2}\left(x+2-2\sqrt{1+x^2}\right)$ в интервала $x \in [0,\,4/3]$ е $f \approx 0{,}1929$ при $x \approx 0{,}415$; $v^2 = 2gd\,f(x)$.

• д) $\nu_v = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{g}{d}}$

  $E_{pot}(z) = \frac{3\sqrt{3}}{8}\frac{mg}{d}z^2$, $E_{kin}(\dot z) = \frac{3}{4}m\dot z^2$.

• е) $\nu_h = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{10}\frac{g}{d}}$

  $E_{pot}(y) = \frac{\sqrt{3}}{8}\frac{mg}{d}y^2$, $E_{kin}(\dot y) = \frac{5}{4}m\dot y^2$.

• ж) $\frac{\nu_v}{\nu_h} = \sqrt{5}$ ≈ $2.2360679775$

• з) Движението е суперпозиция на две перпендикулярни хармонични трептения с ирационално отношение на честотите ($\sqrt{5}$), затова не е периодично; траекторията е незатворена крива, безкрайно пъти самопресичаща се и вписваща се в правоъгълник със страни удвоените амплитуди на хоризонталното и вертикалното трептене (фигура на Лисажу).

а) В равновесие $mg = 2mg\cos\alpha$, следователно $\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\alpha = 60°$. [0.2 т.]

б) Когато средното тяло пропадне максимално на дълбочина $L$, страничните тела ще се надигнат на височина $s$. От закона за запазване на енергията следва, че $0 = 2mgs - mgL$, откъдето $s = \frac{L}{2}$. (1) [0.2 т.] Тъй като $(d+s)^2 = d^2 + L^2$, $d^2 + 2ds + s^2 = d^2 + L^2$. [0.1 т.] Използвайки (1), $2d\frac{L}{2} + \left(\frac{L}{2}\right)^2 = L^2$, откъдето $= \frac{4}{3}d$. [0.2 т.]

в) Нека бележим отместването на средното тяло от началното си положение с $y$, а на всяко от страничните тела – с $s$ и приемем началната енергия за нула, то от закона за запазване на енергията $0 = -mgy + 2mgs + \frac{m\dot y^2}{2} + \frac{2m\dot s^2}{2}$. (2) [0.3 т.] Тъй като $(d+s)^2 = d^2 + y^2$, $s = \sqrt{d^2+y^2} - d$. (3) [0.2 т.] Връзка между скоростите на телата може да намерим като диференцираме (3): $\dot s = \frac{1}{2}\frac{2y\dot y}{\sqrt{d^2+y^2}} = \frac{y\dot y}{\sqrt{d^2+y^2}}$. (4) [0.2 т.] В положението на равновесие $\frac{d}{y} = \tan\alpha = \tan 60° = \sqrt{3}$, откъдето $y = \frac{d}{\sqrt{3}}$. [0.2 т.] (5) Замествайки (5) в (4) $\dot s = \frac{\dot y}{2}$. (6) [0.2 т.] Замествайки (3) и (6) в (2), $0 = -mgy + 2mg\left(\sqrt{d^2+y^2} - d\right) + \frac{m\dot y^2}{2} + \frac{2m\dot y^2}{8}$. (7) Разделяйки (7) на $2m$, получаваме $0 = -\frac{1}{2}gy + g\left(\sqrt{d^2+y^2} - d\right) + \frac{\dot y^2}{4} + \frac{\dot y^2}{8}$. (8) [0.2 т.] Замествайки $y$ в (8) с израза (5), $0 = -g\frac{d}{2\sqrt{3}} + g\left(\sqrt{d^2 + \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2} - d\right) + \frac{\dot y^2}{4} + \frac{\dot y^2}{8}$. След опростяване на последното уравнение, $v_{\text{рав}} = \dot y = \sqrt{\frac{4}{3}gd\left(2-\sqrt{3}\right)}$. [0.3 т.]

г) Използвайки (3) и (4), ур-ие (2) може да се трансформира така: $0 = -mgy + 2mgs + \frac{m\dot y^2}{2} + \frac{2m\dot s^2}{2}$, $0 = -2gy + 4g\left(\sqrt{d^2+y^2} - d\right) + \dot y^2 + 2\frac{y^2}{d^2+y^2}\dot y^2$. Оттук $\dot y^2 = 2g\frac{(d^2+y^2)}{d^2+3y^2}\left(y + 2d - 2\sqrt{d^2+y^2}\right)$. [0.3 т.] (9) Въвеждайки безразмерната променлива $x = \frac{y}{d}$, (9) се преобразува до $\dot y^2 = 2gd\frac{(1+x^2)}{1+3x^2}\left(x + 2 - 2\sqrt{1+x^2}\right)$. (10) Изследваме функцията $f(x) = \frac{(1+x^2)}{1+3x^2}\left(x + 2 - 2\sqrt{1+x^2}\right)$. Тя е дефинирана в интервала $x \in [0\,,4/3]$, като в краищата на интервала се нулира. Търсим максимум в този интервал. Изчисляваме стойностите на функцията за сгъстяващи се стойности около очаквания максимум (виж таблицата [0.6 т.]). Получаваме за максимума $f(x) \approx 0.1929$ [0.3 т.] при $x \approx 0.415$. [0.3 т.] Следователно маскималната скорост се достига при $v_{max} \approx 0.621\sqrt{gd}$ [0.3 т.] в положение $H \approx 0.415d$. [0.3 т.]

д) В положението на равновесие $y = l$, $\frac{d}{l} = \tan 60°$, $l = \frac{d}{\sqrt{3}}$. Нека потенциалната енергия на системата в равновесното положение е нула. Тогава, ако средното тяло се отмести надолу на малко разстояние $z$, потенциалната енергия на системата в това положение е $E_{pot}(z) = -mgz + 2mg\left[\sqrt{d^2+(l+z)^2} - \sqrt{d^2+l^2}\right]$. [0.5 т.] $E_{pot}(z) = mg\left\{-z + 2\left[\sqrt{d^2 + \left(\frac{d}{\sqrt{3}}+z\right)^2} - \sqrt{d^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2}\right]\right\} = mg\left\{-z + 2\frac{2d}{\sqrt{3}}\left[\sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{z}{d} + \frac{3}{4}\left(\frac{z}{d}\right)^2} - 1\right]\right\}$. [0.5 т.] Използвайки дадената приближена формула $\sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{3}{4}x^2} \approx 1 + \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{9}{32}x^2$, когато $|x| \ll 1$, $E_{pot}(z) \approx mg\left\{-z + 2\frac{2d}{\sqrt{3}}\left[1 + \frac{\sqrt{3}}{4}\frac{z}{d} + \frac{9}{32}\left(\frac{z}{d}\right)^2 - 1\right]\right\} = mg\left\{\frac{4d}{\sqrt{3}}\left[\frac{9}{32}\left(\frac{z}{d}\right)^2\right]\right\} = \frac{3\sqrt{3}}{8}\frac{mg}{d}z^2$. [0.5 т.] Кинетичната енергия е $E_{kin}(\dot z) = \frac{m\dot z^2}{2} + \frac{2m\dot s^2}{2}$. Използвайки (6) $E_{kin}(\dot z) = \frac{m\dot z^2}{2} + \frac{2m(k\dot z)^2}{2} = \frac{3}{4}m\dot z^2$. [0.5 т.] Пълната енергия на системата е $E = \frac{3\sqrt{3}}{8}\frac{mg}{d}z^2 + \frac{3}{4}m\dot z^2$. Това съответства на хармонично трептене с честота $\nu_v = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\frac{3\sqrt{3}mg}{8\,d}}{\frac{3}{4}m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{g}{d}}$. [0.5 т.]

е) При хоризонтално отклонение $y$ на средното тяло от равновесното му положение то не си променя височината, но от страничните две тела едното се надига, а другото се спуска. Потенциалната енергия на системата е $E_{pot}(y) = mg\left\{\left[\sqrt{(d+y)^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2} - \sqrt{d^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2}\right] + \left[\sqrt{(d-y)^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2} - \sqrt{d^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2}\right]\right\}$, $E_{pot}(y) = mg\left\{\left[\sqrt{\frac{4}{3}d^2 + 2dy + y^2} - \sqrt{\frac{4}{3}d^2}\right] + \left[\sqrt{\frac{4}{3}d^2 - 2dy + y^2} - \sqrt{\frac{4}{3}d^2}\right]\right\}$, $E_{pot}(y) = mg\frac{2d}{\sqrt{3}}\left\{\left[\sqrt{1 + \frac{3}{2}\frac{y}{d} + \frac{3}{4}\left(\frac{y}{d}\right)^2} - 1\right] + \left[\sqrt{1 - \frac{3}{2}\frac{y}{d} + \frac{3}{4}\left(\frac{y}{d}\right)^2} - 1\right]\right\}$. [0.5 т.] Използвайки дадената приближена формула, $E_{pot}(y) = mg\frac{2d}{\sqrt{3}}\left\{\left[1 + \frac{3}{4}\frac{y}{d} + \frac{3}{32}\left(\frac{y}{d}\right)^2 - 1\right] + \left[1 - \frac{3}{4}\frac{y}{d} + \frac{3}{32}\left(\frac{y}{d}\right)^2 - 1\right]\right\}$, $E_{pot}(y) = mg\frac{2d}{\sqrt{3}}\frac{6}{32}\left(\frac{y}{d}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{8}\frac{mg}{d}y^2$. [0.5 т.] Тъй като отместването на едно от страничните тела (примерно лявото) е $x_\text{л} = \left[\sqrt{(d+y)^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2} - \sqrt{d^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2}\right]$, то диференцирайки, намираме неговата скорост $\dot x_\text{л} = \frac{1}{2}\frac{2(d+y)\dot y}{\sqrt{(d+y)^2+\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2}} \approx \frac{\sqrt{3}}{2}\dot y$. [0.5 т.] Аналогично за дясното тяло се получава същата скорост $\dot x_\text{д} \approx \frac{\sqrt{3}}{2}\dot y$. Общата кинетична енергия на системата е $E_{kin}(\dot z) = \frac{m}{2}\left[\dot y^2 + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\dot y\right)^2\right] = \frac{5}{4}m\dot y^2$. [0.5 т.] Пълната енергия на системата е $E = \frac{\sqrt{3}}{8}\frac{mg}{d}y^2 + \frac{5}{4}m\dot y^2$. Това съответства на хармонично трептене с честота $\nu_h = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}mg}{8\,d}}{\frac{5}{4}m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{10}\frac{g}{d}}$. [0.5 т.]

ж) Отношението на честотите е $\frac{\nu_v}{\nu_h} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{3}g}{2\,d}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{3}g}{10d}}} = \sqrt{5}$. [0.2 т.]

з) Тъй като отношението на честотите (и съответно на периодите) не е рационално число, то движението на тялото $M$, макар и да е суперпозиция на две перпендикулярни периодични хармонични трептения, не е периодично. Траекторията ще бъде незатворена крива, безкрайно пъти самопресичаща се и вписваща се в правоъгълник със страни удвоените амплитуди на хоризонталното и вертикалното трептене. [0.4 т.]