НПСФ 2024, Специална тема — Задача 1. От „П“ към „М“

Автор: Olympiads XYZ · транскрипция на официалните материали

Автоматична транскрипция · предстои повторна проверка срещу оригинала

Редактирай тази страница

Пролетно национално състезание по физика, Кърджали, 9 март 2024 г. — Специална тема (седма възрастова група) · 9 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Задача 1. От „П“ към „М“.

Две тела, всяко с маса mm, са вързани на краищата на достатъчно дълга неразтеглива нишка с пренебрежима маса. Нишката е преметната през две макари с пренебрежима маса, така че да образува буквата „П“. Разстоянието между макарите е 2d2d. В средата на нишката е фиксирано трето тяло със същата маса mm. Земното ускорение е gg.

Полезна математика:

1+x+x2≈1+12x+38x2, когато ∣x∣≪1.\sqrt{1 + x + x^2} \approx 1 + \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2,\ \text{когато } |x| \ll 1.

1±32x+34x2≈1±34x+332x2, когато ∣x∣≪1.\sqrt{1 \pm \tfrac{3}{2}x + \tfrac{3}{4}x^2} \approx 1 \pm \tfrac{3}{4}x + \tfrac{3}{32}x^2,\ \text{когато } |x| \ll 1.

Схема: две вертикални прави линии (нишката, висяща надолу от две макари), в долните им краища по едно топче с маса $m$. Горе двете макари са свързани с хоризонтална отсечка, над която е нанесен размерът $2d$ с двустранна стрелка. От средата на горната отсечка виси средното тяло с маса $m$; означено е с точка на горната отсечка (изходно положение „П“) и със сива точка по-долу върху вертикалната пунктирана осева линия (равновесно положение „М“). От сивата точка тръгват две пунктирани отсечки към двете макари, а между тях и осевата линия е отбелязан ъгълът $\alpha$. Вляво е начертана стрелка надолу с етикет $\vec{g}$.
Двете макари на разстояние 2d2d една от друга, нишката с трите тела и ъгълът α\alpha при средното тяло в равновесно положение.

а) При какъв ъгъл α\alpha, ако системата е в покой, е в равновесие (нишката има форма на буквата „М“). [0,2 т.]

б) Ако първоначално системата е била в покой и нишката е имала формата на буквата „П“, какво ще бъде максималното вертикално пропадане LL на средното (централно) тяло. [0,5 т.]

в) Каква ще бъде скоростта vравv_{\text{рав}} на средното тяло, когато минава през точката си на равновесие? [1,6 т.]

г) Каква ще бъде максималната скорост vmaxv_{max} на средното тяло при неговото движение и при какво пропадане HH се достига? Резултатите в това подусловие получете числено (таблично или графично) с точност около процент (т.е. числовите коефициенти в получените формули). [2,1 т.]

д) Нека средното тяло леко е отклонено вертикално от положението си на равновесие. Получете формула за честотата νv\nu_v на малки вертикални трептения на системата. [2,5 т.]

е) Нека средното тяло леко е отклонено хоризонтално от положението си на равновесие. Получете формула за честотата νh\nu_h на малки хоризонтални трептения на средното тяло. [2,5 т.]

ж) Изчислете отношението на честотите νv/νh\nu_v/\nu_h. [0,2 т.]

з) Ако средното тяло тръгне от положението си на равновесие с малка скорост в произволна посока, какво ще бъде неговото движение? Опишете качествено неговата траектория. [0,4 т.]

Отговори

Покажи отговорите

Решение

Покажи официалното решение

Оригинал в Архива: ST_spec-tema-zadachy.pdf · официални решения: ST_spec-tema-reshenyja.pdf