НПСФ 2024, Специална тема — Задача 2. Реален газ

• а) $\left(p + \frac{n^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{n} - b\right) = RT$

• б) $V_c = 3b,\qquad T_c = \frac{8a}{27bR},\qquad p_c = \frac{a}{27b^2}$

  От условията $\dfrac{dp}{dV} = 0$ и $\dfrac{d^2p}{dV^2} = 0$ в критичната точка.

• в) $V_c = 1{,}16{\cdot}10^{-4}\ \mathrm{m^3},\qquad T_c = 126\ \mathrm{K},\qquad p_c = 33{,}9{\cdot}10^{5}\ \mathrm{Pa} = 33.9\ \mathrm{atm}$

  Точността по темата е около процент; $T_c$ с толеранс $\pm 1$ K, $p_c$ с толеранс $\pm 0{,}2{\cdot}10^5$ Pa.

• г) $p_{\text{ид}} = 1{,}78{\cdot}10^{7}\ \mathrm{Pa} = 178\ \mathrm{atm},\qquad p_{\text{ВдВ}} = 1{,}76{\cdot}10^{7}\ \mathrm{Pa} = 176\ \mathrm{atm}$

  Стойностите в atm са отпечатани в решението при пресмятане с 1 atm $= 1{\cdot}10^5$ Pa.

• д) $\left(\pi + \frac{3}{\varphi^2}\right)(3\varphi - 1) = 8\tau$

• е) $\rho_{\text{ид}} = \frac{p\mu}{RT} = 1{,}123\ \mathrm{kg/m^3};\qquad \varphi \approx 215.1 \Rightarrow \rho_{\text{ВдВ}} = \frac{\mu}{\varphi V_c} = 1{,}123\ \mathrm{kg/m^3}$

  И двата начина дават 1,123 kg/m³ с точност до третия знак; безразмерният обем се получава от кубичното уравнение $0.0885\varphi^3 - 19.08\varphi^2 + 9\varphi - 3 = 0$.

а) Тъй като при едно и също налягане и температура $n$ мола газ имат $n$ пъти по-голям обем от един мол газ, то уравнението на Ван-дер-Ваалс за $n$ мола газ ще изглежда така: $\left(p + \frac{n^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{n} - b\right) = RT$. [0.5 т.]

б) Тъй като изотермата $p(V)$ в критичната точка (състоянието с параметри $T_c$, $p_c$ и $V_c$) има нулева първа и втора производна, то $p = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2}$, (1) $\frac{dp}{dV} = -\frac{RT}{(V-b)^2} + \frac{2a}{V^3} = 0$, [0.2 т.] $\frac{d^2p}{dV^2} = +\frac{2RT}{(V-b)^3} - \frac{6a}{V^4} = 0$, [0.4 т.] откъдето получаваме $\frac{RT}{(V-b)^2} = \frac{2a}{V^3}$ (2) и $\frac{RT}{(V-b)^3} = \frac{3a}{V^4}$. (3) Разделяйки (2) на (3), получваме $V - b = \frac{2V}{3}$, $V_c = 3b$. (4) [0.8 т.] Замествайки в (2), $T_c = \frac{8a}{27bR}$. [0.8 т.] (5) Замествайки (4) и (5) в (1), $p_c = \frac{a}{27b^2}$. [0.8 т.] (6)

в) За газ от азотни молекули (N$_2$) получаваме $V_c = 1{,}16.10^{-4}$ m$^3$, [0.5 т.] $T_c = 126$ K, [0.5 т.] $p_c = 33{,}9.10^{5}$ Pa $= 33.9$ atm. [0.5 т.]

г) 1. предполагайки, че е идеален газ $p = \frac{mRT}{\mu V} = 1{,}78.10^{7}$ Pa $= 178$ atm; [0.5 т.] 2. предполагайки, че е Ван-дер-Ваалсов газ $p = \frac{RT}{\frac{\mu}{m}V - b} - \frac{a}{\left(\frac{\mu}{m}V\right)^2} = 1{,}76.10^{7}$ Pa $= 176$ atm. [1 т.]

д) Въвеждайки безразмерните променливи уравнението на Ван-дер-Ваалс добива вида $\left(\pi p_c + \frac{a}{(\varphi V_c)^2}\right)(\varphi V_c - b) = R\tau T_c$. [0.3 т.] Замествайки с изразите, получени в (4), (5) и (6), получаваме $\left(\pi\frac{a}{27b^2} + \frac{a}{(\varphi 3b)^2}\right)(\varphi 3b - b) = R\tau\frac{8a}{27bR}$. [0.5 т.] След опростяване $\left(\pi + \frac{3}{\varphi^2}\right)(3\varphi - 1) = 8\tau$. (7) [0.7 т.]

е) 1. Предполагайки, че е идеален газ, $pV = \frac{mRT}{\mu}$, $p = \frac{\rho RT}{\mu}$, откъдето $\rho = \frac{p\mu}{RT}$, $\rho = 1{,}123$ kg/m$^3$. [0.4 т.] 2. Предполагайки, че е Ван-дер-Ваалсов газ, една възможност е да използваме уравнението на Ван-дер-Ваалс в безразмерни променливи. Изчисляваме първо безразмерните параметри: $\pi = \frac{p}{p_c} = 2{,}950.10^{-2}$, [0.2 т.] $\tau = \frac{T}{T_c} = 2{,}381$. [0.2 т.] Уравнение (7) се преобразува до кубичното уравнение $3\pi\varphi^3 - (\pi + 8\tau)\varphi^2 + 9\varphi - 3 = 0$. Замествайки с числените стойности, получаваме $0.0885\varphi^3 - 19.08\varphi^2 + 9\varphi - 3 = 0$. [0.2 т.] (8) Тъй като $\tau > 1$, трябва да има само един реален корен. Очакваме резултатът да е близък до този, изчислен с уравнението на идеалния газ. Изчисляваме безразмерния обем, получен с уравнението на идеалния газ, $\varphi = \frac{V}{V_c} = \frac{\mu}{\rho V_c} = 215.0$. Търсим решение на (8) близо до тази стойност (виж таблицата [0.4 т.]) Решението е $\varphi \approx 215.1$. [0.2 т.] Следователно $\rho = \frac{\mu}{\varphi V_c} = 1{,}123$ kg/m$^3$. [0.4 т.]