НПСФ 2024, Специална тема — Задача 2. Реален газ

Пролетно национално състезание по физика, Кърджали, 9 март 2024 г. — Специална тема (седма възрастова група) · 9 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Задача 2. Реален газ

В модела на идеалния газ се пренебрегва размера на частиците в газа и взаимодействията между тях. Едно по-добро описание на реалните газове е да се отчете по възможно най-простия начин размера на частиците и взаимодействията между тях. Това води до модификация на уравнението на идеалния газ $pV = RT$ (за един mol) като в него се вмъкват допълнителни членове и емпирични константи (зависещи от химичната природа на газа). Един възможен вариант е т.нар. уравнение на Ван-дер-Ваалс. За един mol то изглежда така $\left(p + \frac{a}{V^2}\right)(V - b) = RT$. Константата $a$ отчита привличането между частиците на газа, а константата $b$ отчита техния краен обем.

а) Напишете уравнението на Ван-дер-Ваалс за $n$ мола газ. [0,5 т.]

б) Веществата могат да съществуват в различни агрегатни състояния. Известно е, че температурата на кипене на всяко вещество нараства с нарастване на налягането. Тъй като плътността на течностите намалява с увеличаване на температурата, а плътността на наситените пари на всяко вещество нараства с увеличаване на температурата, то може да се направи извода, че съществува температура $T_c$, наречена критична, при която плътностите на течната и газовата фаза ще се изравнят и те ще станат неразличими. Налягането $p_c$ на газа при тези условия се нарича критично, а обемът $V_c$ на един мол при тези условия – критичен. Над тази критична температура $T_c$ не може да се наблюдава фазов преход течност-газ.

Оказва се, че с помощта на уравнението на Ван-дер-Ваалс може се изчислят тези критични параметри. Ако се чертаят изотерми, получени с уравнението на Ван-дер-Ваалс на $p - V$ диаграма, за температури над критичната, изотермата е монотонно намаляваща крива, за температури под критичната, изотермата има минимум и максимум (които нямат физичен смисъл и в тази задача не са важни), а при критичната температура $T_c$ изотермата има инфлексна точка (с координати $p_c$ и $V_c$), в която допирателната е хоризонтална (виж фигурата).

Използвайки уравнението на Ван-дер-Ваалс, изразете $T_c$, $p_c$ и $V_c$ чрез двата емпирични параметри $a$ и $b$ и универсалната газова константа $R$. [3 т.]

в) За газ от азотни молекули (N$_2$), $a = 0.137$ N.m$^4$/mol$^2$ и $b = 3{,}87.10^{-5}$ m$^3$/mol. Изчислете стойностите на $T_c$, $p_c$ и $V_c$ за този газ. Универсалната газова константа е $R = 8.314$ J/mol.K [1,5 т.]

г) Газ азот (N$_2$) с маса $m = 10.0$ kg и моларна маса $\mu = 28{,}01.10^{-3}$ kg/mol е поставен в стоманена бутилка с обем $V = 50{,}0$ l (литра) при стайна температура $T = 300$ K. Изчислете налягането на газа в бутилката по два начина: 1. предполагайки, че е идеален газ и 2. предполагайки, че е Ван-дер-Ваалсов газ. [1,5 т.]

д) Ако се въведат безразмерни променливи за налягане, температура и обем по следния начин: $\pi = \frac{p}{p_c}, \tau = \frac{T}{T_c}$ и $\varphi = \frac{V}{V_c}$, получете уравнението на Ван-дер-Ваалс за безразмерните променливи $\pi$, $\tau$ и $\varphi$. В него освен променливите трябва да има само числа (т.е. оказва се, че в тези променливи уравнението е „универсално“ и не зависи от химичната природа на газа). [1,5 т.]

е) Газ азот (N$_2$) с моларна маса $\mu = 28{,}01.10^{-3}$ kg/mol се намира при стайно налягане $p = 1{,}00.10^{5}$ Pa и стайна температура $T = 300$ K. Изчислете плътността $\rho$ на газа по два начина: 1. предполагайки, че е идеален газ и 2. предполагайки, че е Ван-дер-Ваалсов газ. За втория случай получете резултата числено (таблично или графично) с точност около процент. [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: ST_spec-tema-zadachy.pdf · официални решения: ST_spec-tema-reshenyja.pdf