Съдържание

НПСФ 2024, Специална тема — Задача 3. Мултивибратор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Пролетно национално състезание по физика, Кърджали, 9 март 2024 г. — Специална тема (седма възрастова група) · 9 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Задача 3. Мултивибратор.

а) Кондензатор, предварително зареден до напрежение $U_0$ , и резистор със съпротивление $R$ са свързани последователно към батерия с електродвижещо напрежение $E$ . Отрицателно заредената плоча на кондензатора е свързана към положителния полюс на батерията. Получете как зависи напрежението $U(t)$ на кондензатора от времето. Предположете, че това напрежение зависи от времето така: $U(t) = A + Be^{\alpha t}$ . В кой момент време $t_0$ кондензаторът е напълно разреден? [1,5 т.]

б) Операционен усилвател (ОУ) се нарича интегрална схема (чип) с няколко извода (минимум 5, виж фигурата). Два от тях са за захранване (с положително $\mathrm{V_{S+}}$ и отрицателно $\mathrm{V_{S-}}$ напрежение) и нататък няма да ни интересуват и няма да се чертаят. Има два входа „положителен“ $\mathrm{V_+}$ и „отрицателен“ $\mathrm{V_-}$ и един изход $\mathrm{V_{out}}$ . Схемата работи така, че изходното напрежение ( $\mathrm{V_{out}}$ , спрямо „маса“) е пропорционално на входното напрежение между двата входа: $\mathrm{V_{out}} = G(\mathrm{V_+} - \mathrm{V_-})$ , като „коефициентът на усилване“ може да се приеме, че е безкрайно голям (реално е $10^5$ или по-голям). Това води до факта, че когато $\mathrm{V_+} \neq \mathrm{V_-}$ , $\mathrm{V_{out}} = +\mathrm{V}_{max}$ (когато $\mathrm{V_+} > \mathrm{V_-}$ ) или $\mathrm{V_{out}} = -\mathrm{V}_{max}$ (когато $\mathrm{V_+} < \mathrm{V_-}$ ). $\mathrm{V}_{max}$ е характерно максимално напрежение (близко по стойност до $\mathrm{V_{S+}}$ ) за даден тип ОУ. Също така може да се приеме, че когато $\mathrm{V_{out}} < |\mathrm{V}_{max}|$ , то $\mathrm{V_+} \approx \mathrm{V_-}$ . Входното съпротивление на схемата (между $\mathrm{V_+}$ и $\mathrm{V_-}$ ) е много голямо, така че входовете на схемата не консумират ток. Също така може да се приеме, че изходното съпротивление на схемата е пренебрежимо (т.е. $\mathrm{V_{out}}$ не зависи от тока, който се консумира от изхода).

Символ на операционен усилвател — триъгълник, насочен надясно. Отляво влизат два извода: горният е означен $\mathrm{V_+}$ и вътре в триъгълника до него стои знак „+“, долният е означен $\mathrm{V_-}$ и до него стои знак „−“. Отгоре на триъгълника излиза извод $\mathrm{V_{S+}}$, отдолу — извод $\mathrm{V_{S-}}$. От върха на триъгълника надясно излиза изходът $\mathrm{V_{out}}$. Всички изводи завършват с малко кръгче. — Означения на изводите на операционен усилвател: захранвания $\mathrm{V_{S+}}$ и $\mathrm{V_{S-}}$ , входове $\mathrm{V_+}$ и $\mathrm{V_-}$ и изход $\mathrm{V_{out}}$ .

Схема: операционен усилвател (триъгълник). Входът $\mathrm{V_{in}}$ е свързан към неинвертиращия вход „+“. Изходът на усилвателя вдясно е $\mathrm{V_{out}}$. От изхода тръгва обратна връзка през резистор $R_f$ до инвертиращия вход „−“; от същия възел резистор $R_g$ отива към маса (означена със символа за заземяване). — Схема на неинвертиращ усилвател с операционен усилвател и делител от резисторите $R_f$ и $R_g$ .

Дадена е следната схема на „неинвертиращ усилвател“. Оказва се, че $\mathrm{V_{out}} = A.\mathrm{V_{in}}$ , където $A$ е число - коефициентът на усилване на схемата. Изразете $A$ чрез стойностите на резисторите $R_f$ и $R_g$ . [1,5 т.]

в) Мултивибраторът е схема, която генерира периодично напрежение. Вдясно е дадена схема на мултивибратор, използващ ОУ. Предположете, че при първоначалното пускане (в момента $t = 0$ ) на захранването на схемата кондензаторът с капацитет $C$ е напълно разреден и че изходното напрежение $V_o$ (в т. c) веднага става положително. Максимално възможната стойност на $V_o$ е $|V_o| = V_m$ . Мултивибраторът започва да генерира променливо (импулсно) напрежение. Намерете периода $T$ на това импулсно напрежение (в т. c). Начертайте на една и съща графика времевите зависимости на напрежението на изхода на мултивибратора $V_c(t)$ и напрежението на кондензатора $V_b(t)$ . Нарисувайте точно формата на графиките и отбележете стойностите на техните характерни точки. [7 т.]

Схема: операционен усилвател (триъгълник, насочен надясно). Инвертиращият вход „−“ е свързан към възел $b$; от възел $b$ надолу е кондензаторът $C$, чиято долна плоча е заземена, а надясно от $b$ през резистор $R$ има връзка до изхода. Изходът на усилвателя е възел $c$ с напрежение $V_o$, изведен надясно. От възел $c$ надолу тръгва делител от два последователни резистора: $R_1$ до възел $a$ и след него $R_2$ до маса. Възел $a$ е свързан обратно към неинвертиращия вход „+“ на усилвателя. — Схема на мултивибратор с операционен усилвател: кондензатор $C$ във възел $b$ , резистор $R$ в обратната връзка и делител $R_1$ , $R_2$ към възел $a$ ; изходът е във възел $c$ ( $V_o$ ).

Отговори

Решение

а) Нека напрежението зависи от времето така: $U(t) = A + Be^{\alpha t}$ . Тогава зарядът на плочите ще зависи от времето така: $q(t) = CU(t) = CA + CBe^{\alpha t}$ , а токът във веригата – така: $I(t) = \frac{dq(t)}{dt} = C\frac{dU(t)}{dt} = CB\alpha e^{\alpha t}$ . [0.2 т.] От закона на Ом за цялата верига $E = RI(t) + U(t) = RCB\alpha e^{\alpha t} + A + Be^{\alpha t} = A + B(RC\alpha + 1)e^{\alpha t}$ . [0.4 т.] За да е изпълнен във всеки един момент от време, $RC\alpha + 1 = 0$ , откъдето $\alpha = -\frac{1}{RC}$ . [0.1 т.] След достатъчно дълго време ( $t \to \infty$ ), $E = A$ . [0.1 т.] В началния момент време $-U_0 = E + B$ , следователно $B = -U_0 - E$ [0.1 т.]. Така $U(t) = E - (U_0 + E)e^{-\frac{t}{RC}}$ . [0.4 т.] Напрежението се нулира, когато $E = (U_0 + E)e^{-\frac{t_0}{RC}}$ , откъдето $t_0 = -RC\ln\frac{E}{E+U_0} = RC\ln\left(1 + \frac{U_0}{E}\right)$ . [0.2 т.]

б) Тъй като $\mathrm{V_{out}} < |\mathrm{V}_{max}|$ , то $\mathrm{V_+} \approx \mathrm{V_-}$ . [0.2 т.] Също така след като входовете на схемата не консумират ток, то токът $I$ през двата резистора е един и същ. [0.2 т.] Тогава $\mathrm{V_{in}} = I.R_g$ , [0.2 т.] а $\mathrm{V_{out}} = I.(R_g + R_f)$ . [0.2 т.] Разделяйки двете уравнения $\mathrm{V_{out}} = \mathrm{V_{in}}.\frac{R_g+R_f}{R_g}$ и $A = 1 + \frac{R_f}{R_g}$ . [0.7 т.]

в) В началния момент време след като $V_o$ стане положително, а $V_b$ е все още нула (кондензаторът не е зареден), то $V_o = V_m$ . Тогава $V_a = V_m\frac{R_2}{R_1+R_2}$ , [0.5 т.] а кондензаторът ще започне да се зарежда от напрежението $V_m$ през резистора $R$ . Използвайки резултата от а), $V_b(t) = V_m\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$ . [0.5 т.] В момент $t_1$ $V_a = V_b$ , $V_m\frac{R_2}{R_1+R_2} = V_m\left(1 - e^{-\frac{t_1}{RC}}\right)$ , откъдето $t_1 = RC\ln\left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)$ . [0.5 т.] В следващия момент време $V_b > V_a$ и напрежението $V_o$ веднага ще стане $V_o = -V_m$ . Тогава кондензаторът ще започне да се презарежда от начално напрежение $V_m\frac{R_2}{R_1+R_2}$ заради напрежението $-V_m$ . Използвайки отново резултата от а), $V_b(t) = -V_m - \left(-V_m\frac{R_2}{R_1+R_2} - V_m\right)e^{-\frac{t-t_1}{RC}}$ . [0.5 т.] Когато в момента $t_2$ обаче $V_b(t) = V_a = -V_m\frac{R_2}{R_1+R_2}$ , [0.5 т.] ОУ отново ще се превключи и на изхода напрежението $V_o$ веднага ще стане $V_o = V_m$ . И така нататък. Моментът $t_2$ ще се определи от равенството $-V_m - \left(-V_m\frac{R_2}{R_1+R_2} - V_m\right)e^{-\frac{t_2-t_1}{RC}} = -V_m\frac{R_2}{R_1+R_2}$ , откъдето $t_2 - t_1 = RC\ln\left(1 + \frac{2R_2}{R_1}\right)$ . Тогава периодът на променливото напрежение ще бъде $T = 2(t_2 - t_1) = 2RC\ln\left(1 + \frac{2R_2}{R_1}\right)$ . Напрежението на изхода $V_o$ ще бъде правоъгълни импулси с големина $\pm V_m$ и период $T = 2RC\ln\left(1 + \frac{2R_2}{R_1}\right)$ . [1 т.] Кондензаторът ще се презарежда между напрежения $\pm V_m\frac{R_2}{R_1+R_2}$ със същия период [1 т.] (виж фигурата [2.5 т.]).

Графика с хоризонтална ос $t$. Начертани са две зависимости. Първата е правоъгълен сигнал, който скача между нивата $+V_m$ и $-V_m$; преключванията са показани с вертикални пунктирани линии, първите две от които са означени $t_1$ и $t_2$. Втората е напрежението на кондензатора — експоненциални участъци, които се качват до $+V_m\frac{R_2}{R_1+R_2}$ и след превключване падат до $-V_m\frac{R_2}{R_1+R_2}$, като двете гранични стойности са надписани вдясно. Отгоре с двустранна стрелка е отбелязан периодът $T = 2RC\ln(1+\frac{2R_2}{R_1})$. — Времеви зависимости на изходното напрежение $V_c(t)$ (правоъгълни импулси $\pm V_m$ ) и на напрежението върху кондензатора $V_b(t)$ с период $T = 2RC\ln(1+2R_2/R_1)$ .

Оригинал в Архива: ST_spec-tema-zadachy.pdf · официални решения: ST_spec-tema-reshenyja.pdf