Съдържание

Условие Част I Част II Решение

НПСФ 2025, 10. клас — Задача 1. Макари и трупчета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2025

Национално пролетно състезание по физика 2025, тема за IV състезателна група (10. клас) · 14 март 2025 г. · 10 т.

Бележка от източника

Всички задачи са съставени от две независими части!

Условие

Част I

Две трупчета с маси $m_{\mathrm{л}} = 0{,}8\ \mathrm{kg}$ и $m_{\mathrm{д}} = 0{,}1\ \mathrm{kg}$ са окачени на три безмасови макари свързани с две безмасови неразтегливи нишки, както е показано на фигурата вляво. Лявото трупче виси от оста на подвижна макара, през която е прекарана лявата нишка, чийто десен край е закачен за оста на другата подвижна макара. Дясното трупче виси от десния край на дясната нишка, която е прекарана през две макари – подвижна и неподвижна. Трупчетата са оставени да се движат свободно под действие на силата на тежестта. Може да използвате, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

Схема на три макари: неподвижна макара горе вдясно, две подвижни макари; лявото трупче виси от оста на долната подвижна макара, дясното — от десния край на дясната нишка.

а) На колко са равни ускоренията $a_{\mathrm{л}}$ и $a_{\mathrm{д}}$ на трупчетата? [3,5 т.]

б) Определете силите на опън $T_{\mathrm{л}}$ и $T_{\mathrm{д}}$ на двете нишки. [1 т.]

Част II

Две малки трупчета с неизвестни маси $m$ и $2m$ са окачени на безмасова неразтеглива непроводяща нишка, прекарана през безмасова неподвижна макара, както е показано на фигурата вляво. Системата се намира в еднородно електрично поле с интензитет $E = 10^6\ \mathrm{N/C}$ , насочен нагоре. В началото трупчетата са заредени с равни по големина разноименни заряди и се движат равномерно. В даден момент допираме заредени тела до трупчетата, така че техните заряди запазват своята големина, но си сменят знака. След това силата на опън на нишката намалява с $2\ \mathrm{N}$ , а системата започва да се движи ускорително. Приемете, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха и привличането между трупчетата да се пренебрегнат.

Неподвижна макара, окачена на тавана; отляво виси трупче $m$, отдясно трупче $2m$; стрелка $g$ надолу и стрелка $E$ нагоре.

а) Намерете големината на ускорението $a$ на трупчетата. [3,5 т.]

б) На колко е равна масата $m$ ? Каква е първоначалната сила на опън $T_{\mathrm{нач}}$ на нишката? [1,5 т.]

в) Определете големината $q$ на зарядите на трупчетата. [0,5 т.]

Решение

Част I

а) На дясното трупче действа силата на тежестта $G_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}g$ надолу и силата на опън $T_{\mathrm{д}}$ на дясната нишка нагоре. [0,2 т.] Тъй като средната макара е безмасова, силата на опън на лявата нишка е $T_{\mathrm{л}} = 2T_{\mathrm{д}}$ . [0,3 т.] На лявото трупче действа силата на тежестта $G_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}}g$ , а силата на опън от страна на лявата макара е $2T_{\mathrm{л}} = 4T_{\mathrm{д}}$ (поради факта, че макарата е безмасова). [0,5 т.] Като приложим II принцип на Нютон, ще получим: $T_{\mathrm{д}} - m_{\mathrm{д}}g = m_{\mathrm{д}}a_{\mathrm{д}}$ [0,5 т.] (за дясното трупче) и $m_{\mathrm{л}}g - 4T_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{л}}a_{\mathrm{л}}$ [0,5 т.] (за лявото трупче). Може да се съобрази, че $a_{\mathrm{д}} = 4a_{\mathrm{л}}$ , тъй като дясното трупче изминава четворно по-голям път от лявото трупче, а пътят е пропорционален на ускорението при движение без начална скорост. [0,5 т.] От горните уравнения следва, че $a_{\mathrm{л}} = \frac{m_{\mathrm{л}} - 4m_{\mathrm{д}}}{m_{\mathrm{л}} + 16m_{\mathrm{д}}}g = \frac{g}{6} \approx 1{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ , а $a_{\mathrm{д}} = \frac{4(m_{\mathrm{л}} - 4m_{\mathrm{д}})}{m_{\mathrm{л}} + 16m_{\mathrm{д}}}g = \frac{2g}{3} \approx 6{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ . [1 т.]

б) От решението на предишното подусловие се вижда, че $T_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}(g + a_{\mathrm{д}}) = m_{\mathrm{д}}(g + 4a_{\mathrm{л}}) = \frac{5m_{\mathrm{л}}m_{\mathrm{д}}g}{m_{\mathrm{л}} + 16m_{\mathrm{д}}} \approx 1{,}7\ \mathrm{N}$ . [0,5 т.] Силата на опън на лявата нишка е $T_{\mathrm{л}} = \frac{10m_{\mathrm{л}}m_{\mathrm{д}}g}{m_{\mathrm{л}} + 16m_{\mathrm{д}}} \approx 3{,}3\ \mathrm{N}$ . [0,5 т.]

Част II

а) Тъй като в началото движението на системата е равномерно и сумарните сили върху трупчетата са нулеви, въпреки че масата на дясното трупче е двойно по-голяма от масата на лявото, дясното трупче има първоначално положителен заряд $q$ , а лявото е отрицателно заредено. Условията за нулиране на силите върху трупчетата са: $T_{\mathrm{нач}} - mg - qE = 0$ [0,5 т.] (за лявото трупче) и $2mg - T_{\mathrm{нач}} - qE = 0$ [0,5 т.] (за дясното трупче). Събираме уравненията и получаваме, че $q = \frac{mg}{2E}$ . [0,5 т.] Като приложим II принцип на Нютон за движението след смяната на знаците на зарядите, ще получим: $T_{\mathrm{кр}} - mg + qE = ma$ [0,5 т.] (за лявото трупче) и $2mg - T_{\mathrm{кр}} + qE = 2ma$ [0,5 т.] (за дясното трупче). Отново събираме уравненията и получаваме $a = \frac{mg + 2qE}{3m} = \frac{2g}{3} \approx 6{,}7\ \mathrm{m/s^2}$ . [1 т.]

б) От уравненията по-горе се вижда, че $T_{\mathrm{нач}} = \frac{3mg}{2}$ , а $T_{\mathrm{кр}} = \frac{7mg}{6}$ , т.е. $T_{\mathrm{нач}} - T_{\mathrm{кр}} = \frac{mg}{3}$ и $m = \frac{3(T_{\mathrm{нач}} - T_{\mathrm{кр}})}{g} \approx 0{,}6\ \mathrm{kg}$ . [1 т.] Съответно $T_{\mathrm{нач}} = \frac{9(T_{\mathrm{нач}} - T_{\mathrm{кр}})}{2} = 9\ \mathrm{N}$ . [0,5 т.]

в) Големината на зарядите на трупчетата е $q = \frac{mg}{2E} = \frac{3(T_{\mathrm{нач}} - T_{\mathrm{кр}})}{2E} = 3\ \mu\mathrm{C}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2025_10problems.pdf · официални решения: proletni_2025_10solutions.pdf