Съдържание

Условие Част I (3 т.)Част II Решение

НПСФ 2025, 10. клас — Задача 2. Електростатика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2025

Национално пролетно състезание по физика 2025, тема за IV състезателна група (10. клас) · 14 март 2025 г. · 10 т.

Бележка от източника

Всички задачи са съставени от две независими части!

Условие

Част I (3 т.)

Интензитетът на електричното поле над земната повърхност е насочен вертикално надолу и големината му е $E \approx 150\ \mathrm{N/C}$ . Малко топче има отрицателен заряд с големина $q = 4\ \mathrm{mC}$ и първоначално е неподвижно. Топчето развива скорост с големина $v = 2\ \mathrm{m/s}$ , след като изминава разстояние $s = 1\ \mathrm{m}$ . Намерете масата $m$ на топчето, като разгледате всички възможни случаи. Земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

Част II

Две еднакви малки теглилки са закачени на еднакви изолирани безмасови пружини по начина, показан на фигурата вляво. Коефициентът на еластичност на пружините е $\varkappa$ . В началото теглилките не са заредени и разстоянието между тях е $\ell_0$ . Дадено е, че след като лявата теглилка е заредена положително с неизвестен заряд $q$ , а дясната теглилка е заредена отрицателно със заряд с неизвестна големина $Q$ ( $q < Q$ ), равновесното разстояние между теглилките става $\ell_1$ . След това теглилките са свързани помежду си с тънък незареден проводник за много кратко време, при което техните заряди почти мигновено стават еднакви по знак и големина. Новото равновесно разстояние между теглилките е $\ell_2$ . Константата на Кулон е $k$ . Триенето се пренебрегва.

Хоризонтална схема: лява стена – пружина – теглилка, празнина, теглилка – пружина – дясна стена.

а) Определете големините на зарядите $q$ и $Q$ преди свързването. [6 т.]

б) На колко е равна сумарната сила, която действа на всяка една от теглилките, непосредствено след свързването? [1 т.]

Решение

Част I

Зарядът на топчето е отрицателен, а полето е насочено надолу, така че електричната сила ще е нагоре. Тъй като посоката на сумарната сила не е определена, ще разгледаме и двата случая – движение нагоре и надолу. Уравнението на Нютон за движение на топчето нагоре е $qE - mg = ma$ . [0,5 т.] Оттук $m = \frac{qE}{g+a} = \frac{2sqE}{2sg+v^2} \approx 50\ \mathrm{g}$ . [1 т.] За движение надолу $mg - qE = ma$ и $m = \frac{qE}{g-a} = \frac{2sqE}{2sg-v^2} \approx 75\ \mathrm{g}$ . [1,5 т.]

Част II

а) В началото пружините не са разтегнати или свити. След зареждането теглилките се привличат със сили $\frac{kqQ}{\ell_1^2}$ , които се уравновесяват от еластичните сили. [0,5 т.] Ако означим разтеженията на пружините с $x_1$ , то $\ell_1 = \ell_0 - 2x_1$ . [0,5 т.] От условието за равновесие следва, че $\varkappa x_1 = \frac{\varkappa(\ell_0-\ell_1)}{2} = \frac{kqQ}{\ell_1^2}$ . [0,5 т.] След свързването зарядите се преразпределят и теглилките стават отрицателно заредени със заряд $\frac{Q-q}{2}$ . [0,5 т.] В този случай теглилките се отблъскват и пружините са свити с $x_2$ , така че $\ell_2 = \ell_0 + 2x_2$ . [0,5 т.] От условието за равновесие следва, че $\varkappa x_2 = \frac{\varkappa(\ell_2-\ell_0)}{2} = \frac{k(Q-q)^2}{4\ell_2^2}$ . [1 т.] Оттук следва, че $Q = q + \sqrt{\frac{2\varkappa(\ell_2-\ell_0)}{k}}\,\ell_2$ . [0,5 т.] Като заместим в предишното условие за равновесие, ще получим квадратното уравнение $q^2 + \sqrt{\frac{2\varkappa(\ell_2-\ell_0)}{k}}\,\ell_2 q - \frac{\varkappa(\ell_0-\ell_1)}{2k}\ell_1^2 = 0$ . [0,5 т.] Положителният корен на уравнението е $q = \sqrt{\frac{\varkappa(\ell_0-\ell_1)}{2k}\ell_1^2 + \frac{\varkappa(\ell_2-\ell_0)}{2k}\ell_2^2} - \sqrt{\frac{\varkappa(\ell_2-\ell_0)}{2k}}\,\ell_2$ . [1 т.] Съответно $Q = \sqrt{\frac{\varkappa(\ell_0-\ell_1)}{2k}\ell_1^2 + \frac{\varkappa(\ell_2-\ell_0)}{2k}\ell_2^2} + \sqrt{\frac{\varkappa(\ell_2-\ell_0)}{2k}}\,\ell_2$ . [0,5 т.]

б) Веднага след свързването на всяка една теглилка действа сумарна сила $\frac{\varkappa(\ell_0-\ell_1)}{2} + \frac{k(Q-q)^2}{4\ell_1^2} = \frac{\varkappa(\ell_0-\ell_1)}{2} + \frac{\varkappa(\ell_2-\ell_0)\ell_2^2}{2\ell_1^2} = \frac{\varkappa}{2}\left(\ell_0 - \ell_1 + \frac{(\ell_2-\ell_0)\ell_2^2}{\ell_1^2}\right)$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2025_10problems.pdf · официални решения: proletni_2025_10solutions.pdf