НПСФ 2025, 10. клас — Задача 3. Електрически вериги

Част I

Еквивалентното съпротивление на веригата е $R_{\mathrm{екв}} = R_1 + \frac{R_2(R_3+R_x)}{R_2+R_3+R_x}$. [1,5 т.] Токът през батерията е $I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\mathrm{екв}}}$. [0,5 т.] Напрежението върху горните два резистора е $U = \mathcal{E} - IR_1$. [0,5 т.] Токът през резистора с неизвестно съпротивление е $I_x = \frac{U}{R_3+R_x}$. [0,5 т.] Мощността $P_x = I_x^2R_x = \frac{\mathcal{E}^2R_2^2R_x}{[R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3+(R_1+R_2)R_x]^2}$. [1,5 т.] За търсеното съпротивление получаваме следното квадратно уравнение:

. [0,5 т.] Търсеното съпротивление е двоен корен на уравнението: $R_x = \frac{\mathcal{E}^2R_2^2 - 2(R_1+R_2)(R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)P_x}{2(R_1+R_2)^2P_x} \approx 267\ \Omega$. [1,5 т.]

Част II

При успоредното свързване напрежението $U_{\mathrm{усп}}$ върху кондензатора е същото като напрежението върху резистора, т.е. $U_{\mathrm{усп}} = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}$, където с $\mathcal{E}$ сме означили електродвижещото напрежение на батерията. [1 т.] При последователното свързване не тече ток във веригата и напрежението върху кондензатора съвпада с напрежението на батерията: $U_{\mathrm{посл}} = \mathcal{E}$. [0,5 т.] Дадено е, че $q_{\mathrm{посл}} = CU_{\mathrm{посл}} = C\mathcal{E} = 1{,}05q_{\mathrm{усп}} = 1{,}05CU_{\mathrm{усп}} = \frac{1{,}05C\mathcal{E}R}{R+r}$. [1 т.] Оттук следва, че $r = 0{,}05R = 1\ \Omega$. [1 т.]