НПСФ 2025, Специална тема — Задача 1. Чаша със сламка

Пролетно национално състезание по физика, 15 март 2025 г., Ловеч — Специална тема (седма състезателна група) · 15 март 2025 г. · 10 т.

Условие

Тънка сламка с маса $m$ и дължина $2L$ се поставя в тежка неподвижна чаша, чиято вътрешност има форма на полусфера с радиус $R$. Земното ускорение е $g$. Триене няма.

а) Ако сламката е в равновесие като това, показано на фигурата, получете как зависи ъгълът $\alpha$ от отношението $L/R$. [2,5 т.]

б) В какъв интервал от стойности на $L/R$ това равновесие (наклонена сламка, подпряна на ръба на чашата) е възможно? [2,5 т.]

в) При това равновесие на какъв интервал от стойности принадлежи ъгълът $\alpha$? При какви стойности на $L/R$ той има минимална и максимална стойност? [1,5 т.]

г) Когато $\frac{L}{R} < 1$, е възможно равновесно положение, при което сламката се намира изцяло вътре в чашата и е хоризонтална. Намерете периода на малки трептения на сламката около това равновесно положение. Намерете как този период зависи от отношението $\frac{L}{R}$ в граничните случаи. Инерчен момент на пръчка с маса $m$ и дължина $l$ около ос, перпендикулярна на пръчката и минаваща през центъра на масата ѝ, е $I = \frac{1}{12}ml^2$. [3,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2025_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2025_STsolutions.pdf