Съдържание

НПСФ 2025, Специална тема — Задача 2. Кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2025

Пролетно национално състезание по физика, 15 март 2025 г., Ловеч — Специална тема (седма състезателна група) · 15 март 2025 г. · 10 т.

Условие

Две схеми: лявата с три кондензатора между изводите $A$, $B$ и $C$, образуващи затворен триъгълник; дясната с три кондензатора, излизащи от общ възел към изводите $A$, $B$ и $C$. — Вляво — свързване „триъгълник“ с кондензатори $C_{AB}$ , $C_{BC}$ и $C_{AC}$ ; вдясно — свързване „звезда“ с $C_A$ , $C_B$ и $C_C$ .

а) Всяка от двете схеми вдясно съдържа по три кондензатора. Свързването в лявата схема се нарича „триъгълник“, а в дясната – „звезда“. Ако знаете капацитетите на кондензаторите в лявата схема и двете схеми имат един и същ еквивалентен капацитет за всяка от двойките точки $A$ и $B$ , $B$ и $C$ , $C$ и $A$ , изразете капацитетите на кондензаторите в дясната схема чрез тези в лявата, т.е. получете формулите $C_A = f(C_{AB}, C_{BC}, C_{AC})$ , $C_B = f(C_{AB}, C_{BC}, C_{AC})$ и $C_C = f(C_{AB}, C_{BC}, C_{AC})$ . [4 т.]

Схема тип мост: от $D$ тръгват две рамена — горното с кондензатор $C$ до възел $F$ и след него $2C$ до $E$; долното с $5C$ до възел $G$ и след него $4C$ до $E$; между $F$ и $G$ е свързан кондензатор $3C$. — Мостова схема от пет кондензатора между точките $D$ и $E$ : $C$ и $2C$ в горното рамо (възел $F$ ), $5C$ и $4C$ в долното рамо (възел $G$ ) и $3C$ в моста $FG$ .

б) Получете еквивалентния капацитет $C_{DE}$ между точките $D$ и $E$ на схемата вдясно. Стойностите на капацитетите на петте кондензатора са дадени на фигурата. Числовият множител в резултата да е обикновена дроб. [6 т.]

Отговори

Решение

а) Приравнявайки еквивалентния капацитет между точките $A$ и $B$ за двете схеми, $\frac{C_AC_B}{C_A+C_B} = C_{AB} + \frac{C_{AC}C_{BC}}{C_{AC}+C_{BC}}$ . [0.5 т.] След преобразования се получава $\frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_B} = \frac{C_{AC}+C_{BC}}{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}$ . [0.5 т.] (1) По същия начин за точките $B$ и $C$ се получава $\frac{1}{C_B} + \frac{1}{C_C} = \frac{C_{AB}+C_{AC}}{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}$ , [0.5 т.] (2) и за точките $A$ и $C$ $\frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_C} = \frac{C_{AB}+C_{BC}}{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}$ . [0.5 т.] (3) Изваждайки (2) от (1), $\frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_C} = \frac{C_{BC}-C_{AB}}{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}$ . [0.5 т.] (4) Събирайки (3) и (4), $\frac{2}{C_A} = \frac{2C_{BC}}{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}$ , откъдето $C_A = \frac{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}{C_{BC}}$ [0.5 т.] (5). Аналогично $C_B = \frac{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}{C_{AC}}$ [0.5 т.] (6) и $C_C = \frac{C_{AB}C_{AC}+C_{AB}C_{BC}+C_{AC}C_{BC}}{C_{AB}}$ . [0.5 т.] (7)

б) Използвайки вече получените формули за преобразованието „триъгълник-звезда“, дадената схема с 5 кондензатора може да се преобразува до дадената по-долу (също с 5 кондензатора). [0.5 т.] Използвайки формули (5), (6) и (7), изчисляваме $C_A = \frac{C\cdot 5C + C\cdot 3C + 5C\cdot 3C}{3C} = \frac{23}{3}C$ , [0.5 т.] $C_B = \frac{C\cdot 5C + C\cdot 3C + 5C\cdot 3C}{5C} = \frac{23}{5}C$ [0.5 т.] и $C_C = \frac{C\cdot 5C + C\cdot 3C + 5C\cdot 3C}{C} = 23C$ . [0.5 т.] Със заместените стойности схемата изглежда така: [1 т.]

Две еквивалентни схеми: от $D$ през кондензатор до възел $H$, откъдето две паралелни рамена към $E$ — горното през възел $F$, долното през възел $G$; в лявата схема кондензаторите са означени с числени стойности, а в дясната — с $C_A$, $C_B$, $C_C$, $2C$ и $4C$. — Преобразуваната схема след замяната „триъгълник → звезда“: вляво със заместените числени стойности ( $\frac{23}{3}C$ , $\frac{23}{5}C$ , $23C$ , $2C$ , $4C$ ), вдясно същата схема със символите $C_A$ , $C_B$ , $C_C$ .

Изчисляваме капацитета $C_{HFE} = \frac{\frac{23}{5}C\cdot 2C}{\frac{23}{5}C+2C} = \frac{46}{33}C$ . [0.5 т.] Аналогично $C_{HGE} = \frac{23C\cdot 4C}{23C+4C} = \frac{92}{27}C$ . [0.5 т.] Общият капацитет $C_{HE} = \frac{46}{33}C + \frac{92}{27}C = \frac{4278}{33\cdot 27}C = \frac{1426}{11\cdot 27}C$ . [1 т.] Капацитетът на цялата схема е $C_{DE} = \frac{\frac{23}{3}C\cdot\frac{1426}{11\cdot 27}C}{\frac{23}{3}C+\frac{1426}{11\cdot 27}C} = \frac{23\cdot 1426}{11109}C = \frac{23\cdot 1426}{3\cdot 3703}C = \frac{1426}{3\cdot 161}C = \frac{62}{3\cdot 7}C = \frac{62}{21}C$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2025_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2025_STsolutions.pdf