НПСФ 2026, 10. клас — Задача 1. Балон с аргон

• а) $n = \frac{PV}{RT} = \frac{1{,}013.10^5.0{,}080}{8{,}314.300} \approx 3{,}25\ \mathrm{mol}$

• б) $F_A = \rho_{\text{въздух}}.g.V = 1{,}3\,.9{,}8\,.0{,}080 \approx 1{,}02\ \mathrm{N}$

• в) $\rho_H = \rho_0.\frac{p_H}{p_0} = 1{,}3.\frac{75.10^3}{101{,}3.10^3} \approx 0{,}962\ \mathrm{kg/m^3}$

• г) $\Delta n = n_0 - n_H = 3{,}25 - 2{,}41 \approx 0{,}84\ \mathrm{mol}$

  На височината $H$ остават $n_H = \dfrac{75000.0{,}080}{8{,}314.300} \approx 2{,}41$ mol.

• д) $n_{max} = \frac{\rho_{\text{въздух}}.V - m_{\text{б}}}{M_{Ar}} = 1{,}35\ \mathrm{mol},\qquad P_{max} = \frac{n_{max}RT}{V} \approx 42\,100\ \mathrm{Pa} \approx 42\ \mathrm{kPa}$

  Налягането на аргона трябва да е най-много около 42 kPa.

• е) $F_{\text{обща}} \approx 0{,}050\ \mathrm{N}\ (\text{нагоре}),\qquad a = \frac{F_{\text{общо}}}{m_{\text{общ1}}+m_{\text{общ2}}} = \frac{0{,}05}{0{,}088.2} \approx 0{,}28\ \mathrm{m/s^2}$

  Резултантната сила е около $0{,}050$ N и е насочена нагоре.

а) Използваме закона за идеален газ: $PV = nRT \implies n = \frac{PV}{RT}$ [0,5 т.]

$n = \frac{1{,}013.10^5.0{,}080}{8{,}314.300} \approx 3{,}25\ \mathrm{mol}$ [0,5 т.]

б) $F_{\mathrm{A}} = \rho_{\text{въздух}}.g.V$ [0,5 т.]

$F_A = 1{,}3.9{,}8.0.{,}080 \approx 1{,}02\ \mathrm{N}$ [0,5 т.]

в) Прилагаме закона за идеален газ за двете налягания и установяваме, че плътността на височина $H$ е $\rho_H = \rho_0.\frac{p_H}{p_0}$ [0,5 т.]

$\rho_H = 1{,}3.\frac{75.10^3}{101{,}3.10^3} \approx 0{,}962\ \mathrm{kg/m^3}$ [0,5 т.]

г) След като балонът се отвори и налягането се изравни с външното на $H$:

$P_H V = n_H RT$ $n_H = \frac{P_H V}{RT}$ [0,5 т.]

$n_H = \frac{75000.0{,}080}{8{,}314.300} \approx \frac{6000}{2494{,}2} \approx 2{,}41\ \mathrm{mol}$ [1 т.]

$\Delta n = n_0 - n_H = 3{,}25 - 2{,}41 \approx 0{,}84\ \mathrm{mol}$ [0,5 т.]

д) За да излети балонът, Архимедовата сила трябва да е по-голяма от гравитационната и силата на тежестта на балона. $\rho_{\text{въздух}}.g.V > g.(m_{\text{б}} + n.M_{Ar})$ [0,5 т.]. Тогава максималният брой молове

$n_{max} = \frac{\rho_{\text{въздух}}.V - m_{\text{б}}}{M_{Ar}}$ [0,5 т.].

Налягането ще бъде $p_{max} = n_{max}\,.R\,.T\,/\,V$ [0,5 т.].

$n_{max} = \frac{(1{,}3\,.0{,}080 - 0{,}050)}{0.040} = 1{,}35\ \mathrm{mol}$ [0,5 т.].

$P_{max} = 1{,}35.8{,}314\,.300\,/\,0{,}080 \approx 42\,100\ \mathrm{Pa} \approx 42\ \mathrm{kPa}$ [0,5 т.].

е) $n = 0{,}7\,.n_{max} = 0{,}945\ \mathrm{mol}$

$m_{\text{газ}} = n\,.M_{Ar} = 0{,}945\,.0{,}040 \approx 0{,}038\ \mathrm{kg}$

$m_{\text{обща}} = m_{\text{б}} + m_{\text{газ}} = 0{,}050 + 0{,}038 \approx 0{,}088\ \mathrm{kg}$ [0,5 т.]

Архимедовата сила за всеки балон е:

$F_{A1} = \rho_{\text{въздух Земя}}\,.g\,.V = 1{,}3\,.9{,}8\,.0{,}080 \approx 1{,}02\ \mathrm{N}$

$F_{A2} = \rho_{\text{въздух }H}.g\,.V = 0{,}962\,.9{,}8\,.0{,}080 \approx 0{,}754\ \mathrm{N}$ [0,5 т.]

Силата на тежестта е:

$F_g = m_{\text{обща}}\,.g = 0{,}088\,.9{,}8 \approx 0{,}862\ \mathrm{N}$ [0,5 т.]

Резултантната сила е:

$F_{\text{обща}} = F_{A1} - F_g + F_{A2} - F_g = 1{,}02 - 0{,}862 + 0{,}754 - 0{,}862 = 0{,}158 - 0{,}108 \approx 0{,}050\ \mathrm{N}$ (нагоре) [1 т.]

Ускорението на системата

$a = \frac{F_{\text{общо}}}{m_{\text{общ1}}+m_{\text{общ2}}} = \frac{0{,}05}{0{,}088.2} \approx 0{,}28\ \mathrm{m/s^2}$ [0,5 т.]