НПСФ 2026, 10. клас — Задача 3. Блокчета по равнина

• а) $k = m\,\frac{(v_2^2 - v_1^2)}{(x_1^2 - x_2^2)},\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{(x_1^2 - x_2^2)}{(v_2^2 - v_1^2)}}$

• б) $A = \sqrt{\frac{x_1^2 v_2^2 - x_2^2 v_1^2}{v_2^2 - v_1^2}},\qquad E = \frac{m}{2}\,\frac{v_2^2 x_1^2 - v_1^2 x_2^2}{x_1^2 - x_2^2}$

• в) $k_f < \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g(x_1^2 - x_2^2)}\sqrt{\frac{x_1^2 v_2^2 - x_2^2 v_1^2}{v_2^2 - v_1^2}}$

  При „$<$“ има затихващи трептения, при „$=$“ системата достига равновесие без преминаване, при „$>$“ няма преминаване през равновесие.

• г) $u_1 - u_2 = 2k_f g\sqrt{\frac{x_1^2 - x_2^2}{v_2^2 - v_1^2}}$

а) Пълната механична енергия:

$\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \mathrm{const}$ [0,5 т.]

За двата момента: $\frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$ [0,5 т.]

Изразяваме k:

$k = m\,\frac{(v_2^2 - v_1^2)}{(x_1^2 - x_2^2)}$ [0,5 т.]

Периодът на трептенето:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\,\pi\sqrt{\frac{(x_1^2 - x_2^2)}{(v_2^2 - v_1^2)}}$ [0,5 т.]

б) В случая на максимално отклонение имаме само потенциална енергия и можем да изразим:

$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2$ [0,5 т.]

Замествайки $k$:

$A = \sqrt{\frac{x_1^2 v_2^2 - x_2^2 v_1^2}{v_2^2 - v_1^2}}$ [1,5 т.]

Пълната механична енергия:

$E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{m}{2}\,\frac{v_2^2 x_1^2 - v_1^2 x_2^2}{x_1^2 - x_2^2}$ [1 т.]

в) Силата на триене: $F_f = k_f mg$. Тежестта ще може да се върне от максималното си отклонение (амплитудата) до равновесното си положение, ако началната ѝ енергия (само потенциална) е по-голяма от големината на работата на силата на триене, $E_{pot} > \left|A_{\text{тр}}\right|, \frac{1}{2}kA^2 > k_f mgA$. [0,5 т.]

Трептене има, ако: $k_f mg < \frac{1}{2}kA$, След заместване: $k_f < \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g(x_1^2 - x_2^2)}\sqrt{\frac{x_1^2 v_2^2 - x_2^2 v_1^2}{v_2^2 - v_1^2}}$ [1 т.]

    ако „$<$“ $\to$ затихващи трептения

    ако „$=$“ $\to$ достига равновесие без преминаване

    ако „$>$“ $\to$ няма преминаване през равновесие

[0,5 т.]

г) Нека $u_1$ и $u_2$ са скоростите при първото и второто преминаване през равновесие.

Загубена енергия за път $2A$: $\Delta E = 2k_f mgA$ [0,5 т.]

В равновесие цялата енергия е кинетична:

$\frac{1}{2}mu_1^2 - \frac{1}{2}mu_2^2 = 2k_f mgA,$

$u_1^2 - u_2^2 = 4k_f gA,$ [0,5 т.]

При малко триене $u_1 + u_2 \approx 2v_{max}$:

$u_1 - u_2 \approx \frac{2k_f gA}{v_{max}}$ [0,5 т.]

$v_{max} = \sqrt{\frac{x_1^2 v_2^2 - x_2^2 v_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$ [0,5 т.]

$u_1 - u_2 = 2k_f g\sqrt{\frac{x_1^2 - x_2^2}{v_2^2 - v_1^2}}$ [1 т.]