НПСФ 2026, 11. клас — Задача 1. Механична предавка

• а) $I = \tfrac{1}{2}(m_1+4m_2)R^2 = \tfrac{17}{10}m_0R^2$

  Масите се разпределят като $m_1 = m_0/5$ (тесният цилиндър) и $m_2 = 4m_0/5$ (широкият).

• б) $a_1 = \frac{2mgR^2}{2I+5mR^2},\qquad a_2 = \frac{mgR^2}{2I+5mR^2}$

  Ъгловото ускорение на макарите е $\epsilon = \dfrac{mgR}{2I+5mR^2}$.

• в) $a_1 = \frac{mgR^2}{I+2mR^2}$

  Печатният отговор на организаторите. Той следва от записаната в решението връзка $a_1 = \epsilon_1 R$, която противоречи на уравнение (14) от същото решение ($a_1 = 2R\epsilon$, защото нишката на макара 1 е навита около широката част с радиус $2R$); с връзката $a_1 = 2R\epsilon_1$ се получава $a_1 = \dfrac{2mgR^2}{I+4mR^2}$.

а) Нека $m_1$ и $m_2$ са съответно масата на горния и на долния цилиндър. Тъй като цилиндрите имат обща ос, общият им инерчен момент е:

(1) $I = \dfrac{1}{2}m_1R^2 + \dfrac{1}{2}m_2(2R)^2 = \dfrac{1}{2}(m_1 + 4m_2)R^2.$ (0.5 т)

Понеже двата цилиндъра са изработени от еднакъв материал, техните маси са пропорционални на съответните им обеми:

(2) $m_1/m_2 = V_1/V_2$ или еквивалентно $m_1 = \rho V_1;\ m_2 = \rho V_2.$ (0.5 т)

където $\rho$ е плътността на материала. Като вземем предвид, че:

(3) $V_1 = \pi R^2 h$ и $V_2 = \pi (2R)^2 h,$

намираме:

(4) $m_1/m_2 = 1/4,$

откъдето следва:

(5) $m_1 = m_0/5$ (0.5 т)

(6) $m_2 = 4m_0/5,$ (0.5 т)

където $m_0$ е общата маса на детайла. Така, за общия инерчен момент на тялото получаваме:

(7) $I = \dfrac{17}{10}m_0R^2.$ (0.5 т)

б) Ясно е, че макарите се въртят в противоположна посока. Затова, ако едната теглилка се спуска, другата се изкачва. Предполагаме, че се спуска теглилката 1. Ако предположението ни не е вярно, ще получим съответното ѝ ускорение отрицателно. Проектираме действащите върху дадена теглилка сили в посоката, в която се движи съответната макара. От II принцип на механиката следва:

(8) $ma_1 = mg - T_1$ (0.5 т)

(9) $ma_2 = T_2 - mg$ (0.5 т)

Прилагаме уравнението за въртене на твърдо тяло около постоянна ос за всяка от макарите:

(10) $I\epsilon_1 = 2RT_1 - 2Rf$ (0.5 т)

(11) $I\epsilon_2 = 2Rf - RT_2$ (0.5 т)

където $\epsilon_1$ и $\epsilon_2$ са съответните ъглови ускорения на макарите, а $f$ е големината на силата на триене в точката на допиране на макарите.

Тъй като макарите не се хлъзгат една спрямо друга, във всеки момент допиращите се точки от периферията се движат с еднаква линейна скорост $v$. Понеже макарите имат еднакъв радиус, равни са и ъгловите им скорости, и ъгловите им ускорения:

(12) $\omega_1 = \omega_2 = \omega$ (0.5 т)

(13) $\epsilon_1 = \epsilon_2 = \epsilon.$ (0.5 т)

Ускоренията на двете теглилки са свързани с ъгловото ускорение на макарите, както следва:

(14) $a_1 = 2R\epsilon$ (0.5 т)

(15) $a_2 = R\epsilon$ (0.5 т)

След алгебрични преобразования намираме ъгловото ускорение:

(16) $\epsilon = \dfrac{mgR}{2I + 5mR^2}$

и получаваме окончателните изрази за двете ускорения:

(17) $a_1 = \dfrac{2mgR^2}{2I + 5mR^2}$ (0.5 т)

(18) $a_2 = \dfrac{mgR^2}{2I + 5mR^2}$ (0.5 т)

Алтернативно решение на подточка б) – енергетичен подход. За дадено време $t$ макарите се завъртат на еднакъв ъгъл $\varphi$. Съответно първата теглилка се спуска на разстояние $h_1 = \varphi(2R)$, а втората – се изкачва на $h_2 = \varphi R$. Следователно работата на силата на тежестта е:

$A_G = mgh_1 - mgh_2 = mgR\varphi.$ (1.0 т)

В дадения момент двете макари се въртят с еднаква моментна ъглова скорост $\omega$. Следователно скоростите на двете теглилки са съответно $v_1 = \omega(2R)$ и $v_2 = \omega R$. Кинетичната енергия на системата в този момент е:

$E_\text{к} = 1/2\ mv_1^2 + 1/2\ mv_2^2 + 1/2\,I\omega^2 + 1/2\,I\omega^2 = (2I + 5mR^2)\omega^2/2$ (1.0 т)

Тъй като макарите не се хлъзгат една спрямо друга, между тях действа сила на триене в покой, която не върши работа. Следователно $E_\text{к} = A_G$, откъдето получаваме:

$mgR\varphi = (2I + 5mR^2)\omega^2/2$ (1.0 т)

При въртене с постоянно ъглово ускорение $\varphi = \epsilon t^2/2$ (0.5 т) и $\omega = \epsilon t$ (0.5 т), откъдето определяме:

$\epsilon = \dfrac{mgR}{2I + 5mR^2}$

и съответно:

$a_1 = \epsilon(2R) = \dfrac{2mgR^2}{2I + 5mR^2}$ (0.5 т)

$a_2 = \epsilon R = \dfrac{mgR^2}{2I + 5mR^2}$ (0.5 т)

в) В този случай $a_2 = 0,\ \epsilon_2 = 0$ и от уравненията (9) и (11) следва:

(19) $T_2 = mg$ (0.5 т)

(20) $f = T_2/2 = mg/2$ (0.5 т)

Тогава уравненията (8) и (10) приемат вида:

(21) $ma_1 = mg - T_1$ (0.5 т)

(22) $I\epsilon_1 = 2RT_1 - Rmg$ (0.5 т)

Като вземем предвид, че $a_1 = \epsilon_1 R$, намираме:

(23) $a_1 = \dfrac{mgR^2}{I + 2mR^2}$ (0.5 т)

Важно уточнение. В този случай енергетичният подход не може да бъде приложен, защото поради хлъзгането на макарите една спрямо друга силите на триене вършат ненулева работа и механичната енергия не се запазва.