НПСФ 2026, 11. клас — Задача 3. Оптичен експеримент

• а) $\ell = \sqrt{h_1h_2} = 8{,}0\ \mathrm{mm}$

• б) $f = \frac{d\ell}{h_1+h_2+2\ell} \approx 22{,}2\ \mathrm{cm}$

• в) $d_{\min} = 4f \approx 88{,}8\ \mathrm{cm}$

  При $d = d_{\min}$ уравнението има два съвпадащи корена $a = b = 2f$ — лещата е по средата между лампата и екрана.

а) На фигурите е показано положението на лещата при формиране на двата образа и е проследен ходът на лъча, който минава през оптичния център на лещата. Нека $a$ е разстоянието между жичката и лещата, при което за първи път върху екрана се наблюдава образ. Тогава за разстоянието $b$ от лещата до екрана е в сила:

(1) $a + b = d$ (0.5 т)

(2) $1/a + 1/b = 1/f$ (0.5 т)

Вторият образ се наблюдава в момента, когато лещата се отдалечи на разстояние $b$ от жичката, като съответно разстоянието от лещата до екрана е $a$. (1.0 т)

(0.5 т) (за левия чертеж) (0.5 т) (за десния чертеж)

Точките за всеки от чертежите се дават, ако ясно личат следните елементи:

• лъчът, минаващ през оптичния център на лещата без пречупване;
• $a < b$;
• $h_1 > \ell$ и $h_2 < \ell$.

Ог чертежа се вижда, че линейното увеличение (по модул) на образа в първия случай е:

(3) $M_1 = h_1/\ell = b/a,$ (0.5 т)

а във втория случай:

(4) $M_2 = h_2/\ell = a/b.$ (0.5 т)

Ако умножим почленно уравненията (3) и (4), получаваме $h_1h_2/\ell^2 = 1$, откъдето намираме дължината на жичката:

(5) $\ell = \sqrt{h_1h_2} = 8{,}0$ mm. (1.0 т)

б) От уравнение (3) или (4) изразяваме линейното увеличение за един от образите:

(6) $M_1 = b/a = \sqrt{h_1/h_2}$ или еквивалентно $b = a\sqrt{h_1/h_2}$ (0.5 т)

Заместваме $b$ в уравнение (1) и намираме разстоянието $a$:

(7) $a = \dfrac{d\sqrt{h_2}}{\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2}}$ (0.5 т)

и от уравнение (6) изразяваме $b$:

(8) $b = \dfrac{d\sqrt{h_1}}{\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2}}$ (0.5 т)

От уравнение (2) на тънката леща, изразяваме търсеното фокусно разстояние:

(9) $f = \dfrac{ab}{a+b} = \dfrac{d\sqrt{h_1h_2}}{\left(\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2}\right)^2} = \dfrac{d\ell}{h_1+h_2+2\ell} \approx 22{,}2$ cm. (1.0 т)

в) От условията (1) и (2) следва, че $a$ и $b$ са двата корена на уравнението:

(10) $x^2 - dx + df = 0.$ (1.0 т)

За да има реални корени уравнението, е нужно дискриминантата да бъде неотрицателна:

(11) $D = d^2 - 4df \geq 0.$ (0.5 т)

Минималното разстояние, при което е изпълнено това условие, е:

(12) $d_{\min} = 4f \approx 88{,}8$ cm. (1.0 т)

В този случай уравнението има два съвпадащи корена $a = b = 2f$, т.е. лещата трябва да се намира по средата между лампата и екрана. Съответно върху екрана се наблюдава действителен обърнат образ на жичката с размер, равен на дължината на жичката.