Съдържание

НПСФ 2026, 9. клас — Задача 2. Механична система

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2026

Пролетно национално състезание по физика, София, 06 – 08.03.2026 г. — Тема 9.клас (Трета възрастова група) · 6 март 2026 г. · 10 т.

Условие

Тяло с маса $M$ е свързано чрез неразтеглива нишка с пренебрежима маса с еднородна дъска с маса $m$ и дължина $L$ , която лежи върху хоризонтален плот (фиг. 2).

Хоризонтален плот, чиято лява част е гладка ($k = 0$), а дясната — щрихована и грапава ($k = k_0$). Върху плота лежи дъска с маса $m$ и дължина $L$; нишка от десния ѝ край минава през макара в края на плота и виси надолу до окачено тяло с маса $M$. — Фиг. 2 към задача 2: дъска с маса $m$ и дължина $L$ върху плот, свързана през макара с тяло с маса $M$ .

В началния момент дъската лежи върху гладката част на плота (коефициент на триене $k = 0$ ), като от началото на движението тя попада върху грапава повърхност (коефициент на триене $k = k_0$ ). Приемете $M > m, k_0 < 1$ . Земното ускорение е $g$ . Определете:

а) силата на опън $T(x)$ , с която нишката действа на дъската, когато част от дъската с дължина $x$ се намира върху грапавата повърхност. [5,5 т.]

б) ускорението $a(x)$ при същото положение на дъската, както в а). Намерете минималната и максималната стойност на ускорението, докато дъската се окаже изцяло върху грапавата повърхност. [1,5 т.]

в) Начертайте графиката на ускорението $a(x)$ от началото на движението на дъската до момента, в който тя се оказва изцяло върху грапавата повърхност. Намерете площта под графиката и абсцисата. Намерете физичната величина, свързана с тази площ Определете нейната стойност. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Разглеждаме дъската като две тела съответно с маси

$m(x) = \rho S x = \rho S L \dfrac{x}{L} = m\dfrac{x}{L}$ , [0,5 т.] $m_1(x) = m - m(x) = m\left(1 - \dfrac{x}{L}\right)$ , [0,5 т.]

където $m(x)$ е масата на частта от дъската върху грапавата повърхност, а $m_1(x)$ – масата от дъската върху гладката повърхност. Ще означим с $T(x)$ силата, с която нишката дърпа дъската, а с $a(x)$ – ускорението на дъската. Тогава можем да запишем уравненията на движение на двете части на дъската:

$m(x)a(x) = T(x) - f(x) - T_0$ , [1 т.]

$m_1(x)a(x) = T_0$ . [0,5 т.]

В тези уравнения силата на триене е

$f(x) = k_0 m(x) g$ [0,5 т.],

а $T_0$ – силата на взаимодействие между двете части на дъската. Като изключим $T_0$ получаваме уравнението

$ma(x) = T(x) - k_0 mg\dfrac{x}{L}$ . [1 т.]

От друга страна уравнението на движение на тялото с маса $M$ е

$Ma(x) = Mg - T(x)$ . [0,5 т.]

От двете уравнения намираме

$T(x) = \dfrac{mM}{m + M}\,g\left(1 + k_0\dfrac{x}{L}\right)$ . [1 т.]

б) Като заместим $T(x)$ в първото уравнение на движение, намираме ускорението

$a(x) = g\,\dfrac{M}{m + M}\left(1 - \dfrac{k_0 m}{ML}x\right)$ . [1 т.]

Ускорението на дъската намалява с навлизане над грапавата повърхност. Следователно имаме

$a_{\max} = a(0) = \dfrac{M}{m + M}\,g$ , [0,25 т.] $a_{\min} = a(L) = \dfrac{M - k_0 m}{m + M}\,g$ . [0,25 т.]

в) Графиката на ускорението $a(x)$ до навлизането на дъската изцяло на грапавата повърхност е показана на фиг. 1. [1 т.] Площта под графиката на функцията и оста $x$ е площ на трапец

$S_{\text{трапец}} = \dfrac{a_{\max} + a_{\min}}{2}L = \dfrac{2M - k_0 m}{2(m + M)}gL$ . [0,5 т.]

От друга страна можем да запишем $S_{\text{трапец}} = a_{\text{ср.}}L$ , т.е. движението на дъската до пълното й излизане върху грапавата повърхност може да се разглежда като движение с постоянно ускорение $a_{\text{ср.}}$ [0,5 т.]. Тогава крайната скорост на дъската е

$v = \sqrt{2a_{\text{ср.}}L} = \sqrt{2S_{\text{трапец}}}$ . [0,5 т.]

$v = \sqrt{\dfrac{2M - k_0 m}{(m + M)}gL}$ [0,5 т.]

Графика на $a(x)$ спрямо $x$: права линия, спадаща от $a_{\max}$ при $x = 0$ до $a_{\min}$ при $x = L$; площта под нея (защрихован трапец) е ограничена от абсцисата. — Фиг. 1 от решението на задача 2 в): графика на ускорението $a(x)$ и площта под нея.

Оригинал в Архива: proletni_2026_9problems.pdf · официални решения: proletni_2026_9solutions.pdf