RMPh 2010, Теория — Задача 4. COSMOLOGIE NEWTONIANĂ

1.

Legea lui Hubble stabileşte relaţia care trebuie să existe între vectorul de poziţie $\mathbf{r}$ şi viteza $\mathbf{v}$ ale oricărui punct din spaţiu, pentru ca expansiunea universului să fie omogenă şi izotropă. Modul în care viteza depinde de vectorul de poziţie este exprimat prin intermediul unui factor multiplicativ având unităţi de măsură convenabile, numit constanta Hubble, $H$. Cu toate acestea, acest factor nu este o constantă, ci depinde de timp, aşa ca şi $R(t)$. Vom nota $H(t_0) = H_0$.

a. Deduceţi Legea lui Hubble.

b. Arătaţi că, în aproximaţia mecanicii newtoniene, Legea lui Hubble este valabilă pentru orice observator care se consideră a fi „în repaus“ într-un punct oarecare al universului.

c. Valoarea actuală a constantei Hubble, $H_0$, poate fi determinată experimental măsurând distanţa până la o galaxie oarecare şi viteza cu care ea se îndepărtează de noi. Astfel, ne găsim în situaţia de a putea face o primă şi grosolană aproximare a vârstei universului, $t_0$. Pentru aceasta, să presupunem (în mod incorect!) că vitezele actuale ale punctelor spaţiului au fost tot timpul aceleaşi încă din momentul Big Bang-ului.
Exprimaţi $t_0$ în funcţie de $H_0$. (Este interesant de menţionat faptul că valoarea observată a lui $H_0$ ne dă o estimare a lui $t_0$ în jurul valorii de $1{,}38\cdot 10^{10}$ ani. În cele ce urmează, această valoare va fi numită timpul Hubble, $t_\mathrm{H}$.)

2.

Vom studia acum un model ca de „praf lipsit de presiune“ al universului. Prin „praf“ se înţelege că universul conţine doar substanţă obişnuită, fără radiaţii (fotoni), fără neutrini, fără materie nebarionică sau orice altceva. Prin „lipsit de presiune“ se înţelege că fiecare punct al spaţiului este înzestrat cu o aceeaşi densitate $\rho$ dependentă de timp, şi că masa totală a universului are o valoare fixată. Ca atare, densitatea variază doar ca urmare a expansiunii universului.

d. Găsiţi relaţia dintre $\rho(t)$ şi $R(t)$ în funcţie de densitatea actuală, $\rho(t_0) = \rho_0$.

e. Fie o pătură sferică infinit de subţire, de masă $m$ şi rază actuală $r_0$. Exprimaţi energia totală a păturii la un moment oarecare de timp în funcţie de $m$, $r_0$, $R(t)$, $H(t)$, $\rho(t)$, şi constanta atracţiei universale $G$.

f. Definim aşa-numita densitate critică, $\rho_c$, ca fiind valoarea pentru care energia de mai sus este zero. Distincţia între diferitele tipuri de universuri este făcută prin intermediul unei mărimi fizice numite parametru al densităţii, $\Omega(t)$, care reprezintă raportul dintre densitatea propriu-zisă a universului şi densitatea critică la acel moment de timp.
Precizaţi cum se comportă universul dacă $\Omega > 1$ (univers „închis“), dacă $\Omega = 1$ (univers „plat“), şi dacă $\Omega < 1$ (univers „deschis“).

g. Exprimaţi energia totală $E$ a păturii sferice în funcţie de $m$, $r_0$, $R(t)$, $H(t)$, şi $\Omega(t)$, şi arătaţi că tipul universului nu se schimbă în timp.

h. Folosind Legea lui Hubble, găsiţi ecuaţia implicită pentru variaţia în timp a lui $R(t)$ în funcţie de $H_0$ şi $\Omega_0 = \Omega(t_0)$. Arătaţi că la momentul Big Bang-ului comportarea universului era în esenţă oricât de apropiată de cea a unui univers plat.

3.

Suntem acum în situaţia de a face o aproximare ceva mai exactă a vârstei universului, în ipoteza unui univers plat ($\Omega_0 = 1$).

i. Rezolvaţi ecuaţia de la punctul h pentru a găsi în mod explicit $R(t)$, şi exprimaţi $t_0$ în funcţie de $t_\mathrm{H}$.

j. Reprezentaţi schematic pe un grafic factorul de scară în funcţie de timpul măsurat în unităţi $t_\mathrm{H}$.

4.

Vom studia acum cazurile ceva mai complexe ale unui univers închis ($\Omega_0 > 1$) şi respectiv deschis ($\Omega_0 < 1$).

k. Pentru $\Omega_0 > 1$, găsiţi dependenţa inversă, a timpului în funcţie de factorul de scară, în funcţie de $H_0$ şi $\Omega_0$.
Indicaţie:

l. Pentru a putea studia $R(t)$, vom căuta să parametrizăm funcţia. Pentru aceasta, notăm funcţia arcsin de mai sus cu p/2. Exprimaţi $R(p)$ şi $t(p)$.

m. Exprimaţi vârsta universului $T$ în momentul final al Big Crunch-ului (opusul Big Bang-ului) în funcţie de $t_\mathrm{H}$ şi $\Omega_0$.

n. Găsiţi dimensiunea maxima (adică $R$ maxim) a universului în funcţie de $\Omega_0$.

o. Pentru $\Omega_0 = 2$, reprezentaţi schematic $R$ în funcţie de timpul $t$ măsurat în unităţi $t_\mathrm{H}$.

p. Pentru $\Omega_0 < 1$, găsiţi dependenţa inversă $t(R)$, în funcţie de $H_0$ şi $\Omega_0$.
Indicaţie:

q. Notaţi funcţia arcsinh de mai sus cu p/2, şi exprimaţi $R(p)$ şi $t(p)$.

r. Arătaţi că, într-un final, expansiunea universului tinde către un ritm uniform, şi exprimaţi această rată în funcţie de $H_0$ şi $\Omega_0$.

s. Pentru $\Omega_0 = 0{,}5$, reprezentaţi schematic $R(t)$.