RMPh 2012, Експеримент — Задача 1

А.

Първо ще разгледаме разпределението на компонентата на скоростите на хелиевите атоми по оста x, vx (разбира се, по същият начин може да подходим и за vy и vz). Поради различни физични причини, ще използваме добре известното Гаусово разпределение, или камбановидна крива. То е пропорционално на exp(-μvx²/2RT).

a. Определете размерността на в коефициента на пропорциалност SI система.

b. Уместно е да предположим, че когато стойността на функцията на разпределение е по-малка от 1% от своя максимум, тогава практически сме достигнали максималната възможна стойност на vx. Оценете големината на vx max. (За опростяване на резултата приемете, че ln10 = 2.5 8.31 × 3 = 25.)

Сега искаме да въведем много прост физичен модел, който пресъздава Гаусово разпределение. Разгледайте множество удари между хелиевите атоми, крайният резултат от които е малки вариации на съответната компонента x на импулса на атомите. Очевидно, по-вероятно е две последователни такива изменения да бъдат в противоположни посоки, така че скоростта не се изменя много. Въпреки това, не е абсолютно невъзможно определен брой от такива последователни изменения да бъдат в едно и също направление, така че този мехънизъм логично води до съществуването на нормално(Гаусово) разпределение.
Този механизъм може да се симулира с последователност от хвърляния на монета. За това, разгледайте целите числа между -5 и 5 по оста x. Както ще забележите, започване от 0 и достигане на 5 е много добра апроксимация за започване от 0 и достигане на vx max.
За да се получи всеки от възможните 11 изхода, вие трябва да направите 10 хвърляния, разделени в 5 поредни двойки. Ако една двойка се състои от два пъти ези, тогава трябва „да напреднете“ по оста с +1. Ако една двойка се състои от два пъти тура, трябва „да отстъпите“ по оста с -1. Също така, ако една двойка се състои от едно ези и едно тура, не напредвайте по оста. За да се получи добра точност, трябва да извършите не по-малко от 100 серии хвърляния.

c. Начертайте графика с вероятностите, които сте получили за 11 събития.

d. Както може да видите, ако резултатите ви са правилни, вероятността за получаване на стойност между 0 и 5 е много подобна на вероятността за получаване на стойност от 0 до vx max. Начертайте графика за съответната стъпаловидна функция на разпределение с 11 стъпки.

e. Каква относителна част от хелиевите атоми имат големина на компонентата на скоростта в дадено направление не по-голяма от 5% от максималната стойност за тази компонента?

f. Каква част от хелиевите атоми имат големини на всички три компоненти на скоростта не по-големи от 5% от максималната стойност?

В.

Сега ще преминем към функция на разпределението на Максуел-Болцман, която описва плътността на вероятността за скоростите на атомите. Тя е пропорционална на v² × exp(-μv²/2RT).

g. Коя е най-вероятната стойност на скоростта на хелиевите атоми? (Моля, вземете стойността на квадратния корен от 5 да е 2.25.) Какъв е интервалът от скорости на атомите, чиито скорости варират най-много ±11% от тяхната най-вероятна скорост?

Както вече виждате, широчината на намерения интервал е на практика равна на една втора от стъпалото на стъпаловидната функция, която апроксимира Гаусовото разпределение в част А. С други думи, ако си представим пространството на скоростите и в него координатни оси, съответстващи на vx, vy и vz, то ще искаме да намерим частта от хелиеви атоми, чиито скорости се намират в сферична обвивка със среден радиус, равен на тяхната най-вероятна скорост, и с дебелина, равна на половин стъпка от стъпаловидната функция, апроксимираща камбановидната крива. Следователно, за всяка от трите компоненти на атомните скорости, ще използваме стъпаловидната функция, определена в част А, като започнем от половин стъпка около 0 и „скачайки“ наляво и надясно с по половин стъпка. Ще се ограничим само до тази осмина (октант) на сферичната обвивка, която съответства на положителни стойности на компонентите на скоростта. Искаме да намерим онези комбинации от стойности на vx, vy и vz, за които величината $\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ лежи във вътрешността на обвивката. Ще наричаме такава комбинация триплет.

h. Каква е вероятността P за триплета (0,0,0За да намерим исканите триплети, трябва да начертаем двумерна таблица. В първия □ ред нанесете стойностите на vx, започвайки от 0 и изменяйки ги с половината от стъпката на стъпаловидната функция в част А. Първия стълб на таблицата се попълва по аналогичен начин, но със стойности за vy. В останалите запишете тази стойност на vz, така че, заедно с vx и vy, да удовлетворява условието по-горе.

i. Направете списък с всички различни триплети, които сте намерили. Под „различни“ имаме предвид тези, които дават различни стойности на атомните скорости, тъй като вероятността за даден триплет не зависи от подредбата или знака на компонентите му vx, vy и vz, т.е. няма нужда да вземате под внимание нито пермутациите, нито знака на тези компоненти. Сега, всичко, което остава, е да намерите колко пъти се среща даден триплет, не само в разгледания вече октант, но в цялото пространство на скоростите. Когато броите това, моля, обърнете внимание, че някои триплети лежат върху някоя от осите vx, vy или vz, докато други лежат точно в равнината, определена от някои две от осите. Затова в списъка, който правите, трябва да добавите още две колони, в които да напишете общия брой появи на всеки триплет, както и неговата вероятност. (Когато изчислявате вероятността на всеки триплет, се ограничете до пет знака след десетичната запетая.)

j. Каква част η от хелиевите атоми (μ = 4 g/mol), при стайна температура (T=300 K), имат скорости в интервала ±11% от тяхната най-вероятна скорост?

Непопълнени отговорни листове