Съдържание

RMPh 2017, Теория, 27 октомври · критерии за оценяване на задача 2, част B (на румънски) — Задача 2. Problema teoretică nr. 2 – Partea B: Estimarea densităţii pepenelui din fotografie

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от RMPh 2017

Romanian Master of Physics 2017 — Theoretical Exam - October 27, 2017 — Barem de evaluare — Problema teoretică nr. 2 – Partea B Estimarea densităţii pepenelui din fotografie · 8 т.

Внимание: Бележка към темата

Documentul din arhivă conţine numai baremul de evaluare (soluţia oficială cu punctajul); enunţul problemei nu este inclus.

Условие

Problema teoretică nr. 2 – Partea B — Estimarea densităţii pepenelui din fotografie

Отговори

Решение

Barem de evaluare

Orice altă rezolvare care conduce la rezultate corecte se va puncta corespunzător

Sarcina de lucru nr. 1

1a. Pentru: [0,5p]

volumul discului având raza $r \cdot \sin\theta$ şi grosimea $h' = r \cdot d\theta \cdot \sin\theta$

$dv = \pi \cdot r^{3} \cdot \sin^{3}\theta \cdot d\theta$ [0,1p]

Sferă de centru O cu un disc subţire (haşurat) la înălţimea unghiului θ faţă de verticală; sunt marcate raza r, raza discului r sinθ, grosimea r dθ şi unghiurile θ şi dθ.

volumul $V_0$ al porţiunii din pepene, cufundată în apă $V_0 = \int_{\theta_0}^{\pi} \pi \cdot r^{3} \cdot \sin^{3}\theta \cdot d\theta$ [0,1p]

V_0 = \pi \cdot r^{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \left[1 + \frac{\cos\theta_0}{2} \cdot \left(3 - \cos^{2}\theta_0\right)\right]

[0,1p]

q = \frac{r_0}{r} = \sin\theta_0

[0,1p]

V_0 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \cdot \left[1 + \left(1 + \frac{q^{2}}{2}\right)\sqrt{1 - q^{2}}\right]

[0,1p]

1b. Pentru: [0,4p]

Condiţia de plutire a pepenelui la suprafaţa apei $\vec{G} + \vec{F_A} = 0$ [0,1p]

$\rho \cdot V \cdot g = \rho_0 \cdot V_0 \cdot g$ [0,1p]

volumul total al pepenelui $V = \dfrac{4 \cdot \pi \cdot r^{3}}{3}$ [0,1p]

\rho = \frac{\rho_0}{2} \cdot \left[1 + \left(1 + \frac{q^{2}}{2}\right) \cdot \sqrt{1 - q^{2}}\right]

[0,1p]

1c. Pentru: [1,0p]

$\dfrac{d}{dq}\left(\dfrac{\rho}{\rho_0}\right) = -\dfrac{3 \cdot q^{3}}{4 \cdot \sqrt{1 - q^{2}}} < 0$ funcţia analizată este monoton descrescătoare [0,1p]

$\dfrac{d^{2}}{dq^{2}}\left(\dfrac{\rho}{\rho_0}\right) = -\dfrac{d}{dq}\left(\dfrac{3 \cdot q^{3}}{4 \cdot \sqrt{1 - q^{2}}}\right) = -\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{3q^{2}\sqrt{1 - q^{2}} + q^{3}\dfrac{q}{\sqrt{1 - q^{2}}}}{1 - q^{2}}\right) < 0$ graficul funcţiei este concav [0,1p]

condiţia de extrem $\dfrac{d}{dq}\left(\dfrac{\rho}{\rho_0}\right) = 0$ , $q = 0$ [0,1p]

$\dfrac{\rho}{\rho_0} = 1$ , pentru $q = 0$

$\dfrac{\rho}{\rho_0} = \dfrac{1}{2}$ , pentru $q = 1$ [0,1p]

Graficul raportului ρ/ρ0 în funcţie de q: valori de la 1,00 la q = 0 scăzând lent, apoi rapid până la 0,50 la q = 1; axa verticală gradată 0,50–1,00, axa orizontală cu etichetele 0,00; 2,00; 4,00; 6,00; 8,00; 1,00 (aşa cum sunt tipărite). [0,6p]

1d. Pentru: [0,4p]

dependenţa $\dfrac{\rho}{\rho_0} = f(q)$ descreşte lent pentru valori ale raportului $q$ cuprinse între $0$ şi $0{,}70$ . Pentru acest domeniu de valori, incertitudinea în determinarea densităţii $\rho$ a pepenelui, datorată incertitudinii în determinarea raportului $q$ este foarte mică şi în consecinţă rezultatele măsurării sunt acurate [0,2p]

graficul $\dfrac{\rho}{\rho_0} = f(q)$ descreşte rapid pentru valori ale variabilei independente $q$ cuprinse între $0{,}85$ şi $1{,}00$ . Variaţii mici ale variabilei $q$ conduc la variaţii substanţiale ale raportului $\dfrac{\rho}{\rho_0}$ şi implicit la variaţii mari ale densităţii pepenelui şi determinarea densităţii pepenelui nu mai este acurată [0,2p]

1e. Pentru: [0,4p]

$q_I = 0{,}70$ [0,2p]

$\rho_I = 0{,}94\ g/cm^{3}$ [0,2p]

Sarcina de lucru nr. 2

2a. Pentru: [0,6p]

aproximarea segmentul $ADE$ ca ipotenuză a triunghiului $AOE$ (figura 2) [0,1p]

tg\,\theta_A = \frac{r}{h + \sqrt{r^{2} - r_0^{2}}}

[0,1p]

tg\,\theta_A = \frac{r'}{h}

[0,1p]

r' \cdot \sqrt{r^{2} - r_0^{2}} = h \cdot (r - r')

[0,1p]

r^{2} \cdot \left(h^{2} - r'^{2}\right) - 2 \cdot r \cdot r' \cdot h^{2} + r'^{2} \cdot \left(h^{2} + r_0^{2}\right) = 0

[0,1p]

r_{1,2} = r' \cdot \frac{h^{2} \pm \sqrt{h^{2} \cdot \left(r'^{2} - r_0^{2}\right) + r'^{2} \cdot r_0^{2}}}{h^{2} - r'^{2}}

[0,1p]

2b. Pentru: [1,1p]

\begin{cases} D_{1,foto} = 7{,}9\ cm \\ D_{2,foto} = 4{,}2\ cm \\ D_{3,foto} = 2{,}9\ cm \end{cases}

[0,2p]

\begin{cases} r_0 = 5{,}5\ cm \\ r' = 8{,}0\ cm \end{cases}

[0,2p]

$h = 100\ cm$ Pentru estimare se acceptă valori ale lui $h \in \left[90\ cm, 110\ cm\right]$ ; toate aceste valori conduc la acelaşi rezultat pentru estimarea densităţii pepenelui [0,2p]

\begin{cases} r_1 = 8{,}52\ cm \\ r_2 = 7{,}58\ cm \end{cases}

[0,2p]

soluţia acceptabilă din punct de vedere fizic este cea pentru care $r > r'$

$r = 8{,}52\ cm$ [0,1p]

\begin{cases} q_{II} = \dfrac{5{,}50}{8{,}52} \\ q_{II} \cong 0{,}65 \end{cases}

[0,1p]

densitatea pepenelui este estimată la $\rho_{II} = 0{,}96\ g/cm^{3}$ [0,1p]

Sarcina de lucru nr. 3

3a. Pentru: [0,6p]

Secţiune prin pepene (semicerc de centru O) şi punctul de observaţie A aflat la înălţimea h deasupra punctului B; raza AD'E formează unghiul θA cu verticala, iar θR la E; sunt marcate punctele B, C, D', O, F, E şi distanţele r0, r' şi r.

$\sin\theta_A = n \cdot \sin\theta_R$ [0,1p]

\begin{cases} \sin\theta_A = \dfrac{BD'}{AD'} \\ \sin\theta_A = \dfrac{r'}{\sqrt{r'^{2} + h^{2}}} \end{cases}

[0,1p]

aproximarea liniei $D'E$ ca ipotenuză a triunghiului $D'FE$ [0,1p]

\begin{cases} \sin\theta_R = \dfrac{EF}{D'E} \\ \sin\theta_R = \dfrac{EF}{\sqrt{D'F^{2} + EF^{2}}} \end{cases}

[0,1p]

\sin\theta_R = \frac{r - r'}{\sqrt{r^{2} - r_0^{2} + (r - r')^{2}}}

[0,1p]

\frac{r'}{\sqrt{r'^{2} + h^{2}}} = n \cdot \frac{r - r'}{\sqrt{r^{2} - r_0^{2} + (r - r')^{2}}}

[0,1p]

3b. Pentru: [1,0p]

\left[n^{2} \cdot \left(h^{2} + r'^{2}\right) - 2 \cdot r'^{2}\right] \cdot r^{2} - 2 \cdot r' \cdot \left[n^{2} \cdot \left(h^{2} + r'^{2}\right) - r'^{2}\right] \cdot r + r'^{2} \cdot \left[n^{2} \cdot \left(h^{2} + r'^{2}\right) - r'^{2} + r_0^{2}\right] = 0

[0,2p]

\begin{cases} r_1 = 8{,}38\ cm \\ r_2 = 7{,}68\ cm \end{cases}

[0,4p]

soluţia acceptabilă din punct de vedere fizic $r = 8{,}38\ cm$ [0,1p]

$q_{III} = \dfrac{5{,}50}{8{,}38}$ ; $q_{III} \cong 0{,}66$ [0,1p]

$\rho_{III} = 0{,}96\ g/cm^{3}$ [0,2p]

3c. Pentru: [0,2p]

precizarea că rezultatul estimării nu este influenţat semnificativ de fenomenul de refracţie [0,2p]

Sarcina de lucru nr. 4

4a. Pentru: [0,3p]

expresia înălţimii calotei pepenelui $h_c = r \cdot \left(1 - \sqrt{1 - q^{2}}\right)$ [0,2p]

$h_{c,IV} = 2{,}08\ cm$ [0,1p]

4b. Pentru: [1,0p]

V(h_c - \Delta h_c) - V(h_c) = \frac{dV}{dh_c} \cdot (-\Delta h_c)

[0,2p]

expresia forţei arhimedice $F_A' = \left(V(h_c) - V(h_c - \Delta h_c)\right) \cdot \rho_0 \cdot g = \rho_0 \cdot g \dfrac{dV}{dh_c} \cdot \Delta h_c$ [0,1p]

$F_A' = -K \cdot \Delta h_c$ [0,1p]

$K = -\rho_0 \cdot g \dfrac{dV}{dh_c}$ [0,1p]

$\dfrac{dV}{dh_c} = -\pi \cdot h_c \cdot (2r - h_c)$ [0,1p]

constanta de elasticitate $K = \rho_0 \cdot g\pi \cdot h_c \cdot (2r - h_c)$ [0,1p]

masa pepenelui $M = \dfrac{4\pi}{3} r^{3} \cdot \rho$ [0,1p]

pulsaţia micilor oscilaţii $\begin{cases} \omega = \sqrt{\dfrac{K}{M}} \\ \omega = \sqrt{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{\rho_0}{\rho} \cdot \dfrac{g}{r} \cdot \left[\dfrac{h_c}{r}\left(2 - \dfrac{h_c}{r}\right)\right]} \end{cases}$ [0,2p]

4c. Pentru: [0,2p]

ecuaţia micilor oscilaţii $\dfrac{d^{2}}{dt^{2}}(\Delta h_c) + \omega^{2} \cdot \Delta h_c = 0$ [0,2p]

4d. Pentru: [0,3p]

$\omega = 6{,}33\ rad/s$ [0,1p]

\begin{cases} T = \dfrac{2\pi}{\omega} \\ T \cong 1s \end{cases}

[0,1p]

intervalul de timp în care pepenele efectuează 10 de oscilaţii $t \cong 10\ s$ [0,1p]

TOTAL Problema teoretică nr. 2 – Partea B: 8,0p

Оригинал в Архива: TheoreticalProblem2PartB.pdf