Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Тройной транзит галилеевых спутников и оценка массы, средней массовой плотности Юпитера

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 15 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Для феномена, описанного в задаче № 15, c использованием 1) наиболее точных результатов задачи № 17, 2) полярного сжатия, вычисленного в задаче № 16 и 3) предположения о круговых орбитах наблюдаемых спутников оцените массу Юпитера и его среднюю массовую плотность (полагая, что тело Юпитера – эллипсоид вращения). С использованием справочных данных для искомых величин вычислите их абсолютную и относительную ошибку определения. (15 баллов).

Отговори

Решение

При движении по круговой орбите с постоянной орбитальной скоростью на спутник должна действовать лишь центростремительная сила, которая в свою очередь, обусловлена силой всемирного тяготения, действующей со стороны центрального тела. Следовательно, второй закон Ньютона для спутника можно представить в виде:

m_S\frac{V^2_S}{R_S} = \frac{G m_S\mathfrak{M}_J}{R^2_S}, \ \Rightarrow \ \mathfrak{M}_J = \frac{V^2_S \cdot R_S}{G}. \qquad (28)

здесь $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ Н·м $^2$ /кг $^2$ –гравитационная постоянная. Учитывая, что

V_S = 2\pi R_S/T_S,

тогда последний результат можно представить в виде:

\mathfrak{M}_J = \frac{4\pi^2 R^3_S}{G\,T^2_S}. \qquad (29)

Используя результат (29) можно оценить массу центрального тела (Юпитера), используя лишь результаты для $R_S$ и $T_S$ , полученные в предыдущей задаче. В качестве таких значений возьмем результаты, полученные для Европы, поскольку они характеризуются наименьшей относительной ошибкой.

В итоге мы получаем

Эллипсоид вращения с экваториальным сечением (штриховая дуга сзади): ось Y вверх до точки C (отрезок $R_p$), ось X вправо до точки B (отрезок $R_e$); в центре красная точка с метками D, A, O. — Рис. 11: к определению эллипсоида вращения Юпитера.

\mathfrak{M}_J = 1.855 \cdot 10^{27}\ \text{кг}.

Учитывая, что истинное значение массы Юпитера есть $\mathfrak{M}^{(0)}_J = 1.899 \cdot 10^{27}$ кг, можно определить абсолютную и относительную погрешность результата:

\Delta\mathfrak{M}_J = |\mathfrak{M}_J - \mathfrak{M}^{(0)}_J| = 0.044 \cdot 10^{27}\ \text{кг},

\varepsilon_{\mathfrak{M}_J} = \frac{\Delta\mathfrak{M}_J}{\mathfrak{M}^{(0)}_J} \times 100\% = 2.30\%.

Зная массу классической планеты и ее объем ( $V$ ) можно оценить среднюю массовую плотность планеты:

\bar{\rho} = \frac{\mathfrak{M}_J}{V}. \qquad (30)

Согласно условию задачи, Юпитер имеет форму эллипсоида вращения, который можно охарактеризовать полярным $\mathfrak{R}_{\mathrm{p}}$ и экваториальным радиусом $\mathfrak{R}_{\mathrm{e}}$ (см. рис. 11). Объем эллипсоида вращения можно представить в виде:

V = \frac{4\pi}{3}\mathfrak{R}_p\,\mathfrak{R}^2_e = \frac{4\pi}{3}\mathfrak{R}^3_e\,(1 - k_J) = 1.426 \cdot 10^{24}\ \text{м}^3. \qquad (31)

C использованием экваториального радиуса Юпитера (представлен в задаче № 16) и полярного сжатия, вычисленного в задаче задаче № 16, мы получаем значение плотности

\bar{\rho} = 1300\ \text{кг/м}^3.

C учетом табличного значения плотности Юпитера $\bar{\rho}^{(0)} = 1326\ \text{кг/м}^3$ , вычисляем абсолютную и относительную ошибку вычислений:

\Delta\bar{\rho} = |\bar{\rho} - \bar{\rho}^{(0)}| = 26\ \text{кг/м}^3, \ \ \varepsilon_{\bar{\rho}} = \frac{\Delta\bar{\rho}}{\bar{\rho}} \times 100\% = 1.96\%.

Ответ: $\mathfrak{M}_J = 1.855 \cdot 10^{27}\ \text{кг}$ , $\Delta\mathfrak{M}_J = 0.044 \cdot 10^{27}\ \text{кг}$ , $\varepsilon_{\mathfrak{M}_J} = 2.30\%$ , $\bar{\rho} = 1300\ \text{кг/м}^3$ , $\Delta\bar{\rho} = 26\ \text{кг/м}^3$ , $\varepsilon_{\bar{\rho}} = 1.96\%$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf