Съдържание

Условие Отговори Решение A.1. Основные физические и астрономические постоянные A.2. Данные о Солнце A.3. Данные о Земле A.4. Данные о Луне A.5. Формулы приближенного вычисления A.6. Характеристики орбит планет A.7. Физические характеристики Солнца и планет A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Самара 2017, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. «Увеличение продолжительности дня за счет явления рефракции»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 12 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов заочного тура № 1». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 1 на проверку: 10.10.2016-15.12.2016!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Дорогие Друзья! (методические указания)

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Условие

Условие. С использованием результатов решения предыдущей задачи и эмпирических формул (2), (3), вычислите промежуток времени ( $\Delta\tau_d$ ), на который увеличивается продолжительность дня за счет явления рефракции света в атмосфере Земли. Искомый результат следует представить как функцию широты местности и склонения Солнца. Постройте график зависимости $\Delta\tau_d$ , как функцию склонения Солнца для широты г. Самары ( $\varphi_S = 53^{\circ}12'$ ). При каких значениях склонения Солнца искомая величина принимает максимальное значение? В какие времена года это бывает? (12 баллов).

Отговори

Решение

Решение: если бы у Земли не было атмосферы, то заход Солнца в момент времени $t_0$ (когда верхняя точка истинного диска Солнца ( $A_0$ ) находилась точно на горизонте, см. рис. 7) за горизонт ознаменовал окончание земного дня. При этом высота истинного Солнца равна (в обозначениях предыдущей задачи)

h^{(0)}_{C_0} = -\rho''_{\odot}.

В действительности, в силу явления рефракции видимый диск Солнца "приподнимается" над горизонтом по отношению истинному его положению. Окончание дня наступает в момент времени $t_2$ , когда верхняя точка видимого диска Солнца $A_2$ окажется точно на горизонте (см. рис. 7). При этом высота центра истинного диска Солнца равна

h^{(0)}_{C_2} = -\delta h - \rho''_{\odot}.

Следовательно, на промежуток времени $\delta t' = t_2 - t_0$ удлиняется продолжительность дня вечером. За этот промежуток времени высота Солнца изменяется на величину

\Delta h' = h^{(0)}_{C_0} - h^{(0)}_{C_2} = \delta h.

При этом

\delta t' = \frac{\ell'}{\omega_{\mathrm{vis}\,\odot}} = \frac{\Delta h'}{\omega_{\oplus}\,\sin\alpha\,\cos\delta} = \frac{\delta h}{\omega_{\oplus}\sqrt{\cos^2\delta - \sin^2\varphi}}.

здесь $\ell$ – длина дуги суточной параллели, вдоль которой перемещается Солнце в течение промежутка $\delta t'$ . Поскольку такое же удлинение дня должно быть на восходе, то промежуток времени ( $\Delta\tau_d$ ), на который увеличивается продолжительность дня за счет явления рефракции света в атмосфере Земли есть

\Delta\tau_d = 2\delta t' = \frac{2\,\delta h}{\omega_{\oplus}\sqrt{\cos^2\delta - \sin^2\varphi}}, \ \text{ где согласно }\ (2)\ \ \delta h = 34.5'. \qquad (42)

С учетом замечания, сделанного в предыдущей задаче, результат (42) модифицируется к виду:

\Delta\tau_d = 2\delta t' = \frac{2\,\delta h}{\omega_{\oplus}\sqrt{\cos^2\delta - \sin^2(\varphi + \rho''_{\odot} + \delta h)}}. \qquad (43)

На рис. 8.а представлены зависимость промежутка времени $\Delta\tau_d$ от склонения Солнца. В силу четности функции $\Delta\tau_d(\delta)$ , кривая симметрична относительно оси ординат. Максимальное удлинение продолжительности суток за счет явления рефракции света в атмосфере Земли достигается в дни солнцестояний (зимой и летом при $\delta = \pm 23^{\circ}26'$ ). Так для г. Самары эта величина равна $\Delta\tau_{d\,\max} = 10.62$ мин. Минимальное значение искомый параметр принимает в дни равноденствий. Для г. Самары эта величина есть $\Delta\tau_{d\,\min} = 7.81$ мин. Ради большей полны анализа результата на рис. 8.б представлен график зависимости промежутка времени $\Delta\tau_d$ от широты местности (в случае северного геополушария) для дня летнего солнцестояния. Из последнего результата, что чем ближе местоположение наблюдателя к северному полярному кругу, тем больше искомая величина. Например, для г. Саранска она составляет $\Delta\tau_{d\,\max} = 11.11$ мин, для г. Москвы – $\Delta\tau_{d\,\max} = 12.05$ мин, для Санкт-Петербурга – $\Delta\tau_{d\,\max} = 16.22$ мин, а на широте $+65^{\circ}$ искомая величина достигает 47.5 мин.

Ответ: представляется выражением (43); искомый график представлен на рис. 8.а; при $\delta = \pm 23^{\circ}26'$ искомая величина $\Delta\tau_d$ принимает максимальное значение; это бывает летом и зимой в дни солнцестояний. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Два графика. а) «Самара»: Δτ_d, мин (от 8.0 до 10.5) в зависимости от δ, град (от −20 до 20) — парабола с минимумом около 7.8 при δ = 0. б) Δτ_d max, мин (10–40) в зависимости от φ, град (0–60) — кривая, почти постоянная около 5 и резко растущая после 55°. — Рис. 8: зависимость промежутка времени (Δτ_d), на который увеличивается продолжительность дня за счет явления рефракции света в атмосфере Земли а) от склонения Солнца на широте г. Самары; б) от широты φ местности для дня летнего солнцестояния (в случае северного геополушария).

Справочные данные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1} \cdot$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-1]_10-11 classes.pdf