Съдържание

Условие Отговори Решение A.1. Основные физические и астрономические постоянные A.2. Данные о Солнце A.3. Данные о Земле A.4. Данные о Луне A.5. Формулы приближенного вычисления A.6. Характеристики орбит планет A.7. Физические характеристики Солнца и планет A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Самара 2017, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 5. «Мерцание звезд и неизменный блеск планет»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 4 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов заочного тура № 1». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 1 на проверку: 10.10.2016-15.12.2016!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Дорогие Друзья! (методические указания)

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Условие

Условие. Как известно, одной из отличительных особенностей планет (в сравнение со звездами) является отсутствие у них мерцания света. Почему мерцают звезды и не мерцают планеты? Всегда ли данный факт имеет место?(4 балла).

Отговори

Решение

Решение: главными причинами мерцания звезд является рефракция света, пришедшего от звезд на неоднородностях атмосферы Земли и малость их угловых размеров. Поясним суть сказанного $^1$ .

Приходя к поверхности Земли, лучи света звезд пронизывают земную атмосферу и в ее нижних слоях встречают на своем пути турбулентные вихри, порожденные температурными неоднородностями. Размеры температурных неоднородностей воздуха составляют $10 \div 25$ см и больше, а располагаются они от приземного слоя до границы тропосферы ( $7 \div 17$ км в зависимости от широты). И хотя эти неоднородности по величине весьма малы, всего доли градуса, однако этого оказывается достаточно, чтобы из-за зависимости коэффициента преломления воздуха от его температуры длина пути луча света изменилась на доли длины волны. Это в свою очередь приводит к искажению фазового фронта световой волны и малому, но заметному отклонению луча света в данной области от прямой линии.

Величина этих «уклонений» составляет от долей до нескольких угловых секунд. Поэтому при прохождении параллельных лучей света через атмосферу на какой-либо перпендикулярной поверхности вместо равномерного освещения образуется хаотичный узор световых пятен, которые к тому же находятся в постоянном движении (дрожании) с частотой от единиц до нескольких сотен герц. Этот эффект называется атмосферным дрожанием изображения. Угловые диаметры звезд не превосходят $0.01''$ , и потому за пределами атмосферы они всегда видны как точечные объекты, а свет от них, можно считать, распространяется в виде пучка лучей практически параллельных друг другу. Рефракция света в атмосфере Земли приводит к "размазыванию" образа звезды и неравномерному распределению потока ее света по площадке – диску атмосферного дрожания, его хаотическому изменению.

Атмосферную турбулентность можно легко пронаблюдать визуально на примере изображения далекого предмета, глядя вдоль нагретой солнцем поверхности или сквозь пламя свечи.

При наблюдении звезд ночью, зрачок человеческого глаза расширяется в темноте до 7 мм, но по сравнению с размерами неоднородностей и "световых пятен" все равно остается практически «точечным» приемником света. Соответственно, освещенность, создаваемая какой-либо звездой на зрачке и далее на сетчатке глаза, быстро и хаотически изменяется от максимального значения и до нуля, иными словами, звезда «мерцает». Временное разрешение нашего зрения составляет около 0.1 с, поэтому за каждую секунду глаз успевает заметить несколько наиболее ярких всплесков света от звезды. А поскольку разные световые импульсы от звезды попадают при этом и на разные светочувствительные клетки (палочки) в сетчатке глаза, то видимые на небе звезды представляются нам не только «мерцающими», но к тому же еще и «лучистыми». Именно так, «с лучами» всегда звезды и изображают, хотя в действительности никаких лучей у звезд не существует.

Если наблюдать звезды в телескоп, который имеет существенно больший размер объектива, чем зрачок глаза, то, начиная с диаметра объектива $0.5 \div 1$ м, на всю площадь объектива телескопа будет приходиться уже несколько разных атмосферных неоднородностей. Поэтому в больших телескопах звезды, во-первых, уже не мерцают, а, во-вторых, их изображение начинает распадаться на несколько отдельных световых пятен, которые называются "спеклами".

Размер каждого спекла определяется дифракционным пятном для данного объектива (например, для зеркала диаметром 1 м дифракционное разрешение в видимом свете составляет около $0.1''$ ). Все спеклы располагаются (и "дрожат") внутри т.н. диска атмосферного дрожания, размеры которого в десятки раз больше и составляют $1'' \div 5''$ .

Именно атмосферное дрожание представляет собой наиболее серьезное препятствие для повышения углового разрешения наземных телескопов, и астрономы всегда стараются разместить свои инструменты в местах с наилучшими астроклиматическими условиями (например, на вершинах гор).

Как известно, угловой диаметр дисков планет Солнечной системы, в принципе, видимых невооруженным глазом составляет от нескольких секунд до $65''$ , что как правило, больше углового диаметра диска атмосферного дрожания, следовательно, глаз человека, наблюдающий планету, принимает ее свет одновременно от разных ее участков, распространяющийся по разным траекториям в атмосфере, и все дрожания отдельных лучей складываются и сглаживаются в пределах их видимых дисков, потому у планет скачков потока света мы не фиксируем и они видны как источники света постоянного потока.

Однако, в случае очень сильных конвекционных потоков (например, в случае очень жаркой погоды) в атмосфере Земли наблюдается увеличение размеров ее неоднородностей, что приводит к увеличению размеров диска атмосферного дрожания до $10''$ и более. И для планет с небольшими угловыми диаметрами (Меркурий, Марс, Уран), "эффект сглаживания" перестает работать. Видимые образы планет начинают тоже дрожать. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 4$ балла).

$^1$ Часть материала для решения взята из книги А. М. Романова Занимательные вопросы по астрономии и не только. – М.:МЦНМО. – 2005. – 415с.

Справочные данные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1} \cdot$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-1]_10-11 classes.pdf