Съдържание

Условие Отговори Решение A.1. Основные физические и астрономические постоянные A.2. Данные о Солнце A.3. Данные о Земле A.4. Данные о Луне A.5. Формулы приближенного вычисления A.6. Характеристики орбит планет A.7. Физические характеристики Солнца и планет A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Самара 2017, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. «Космический корабль в пылевом облаке»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 13 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов заочного тура № 1». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 1 на проверку: 10.10.2016-15.12.2016!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Условие

Условие. Космический корабль будущего, двигаясь в межзвездном пространстве по прямой (вдоль оси OX) со скоростью $V_0$ , налетел на межзвездное неподвижное пылевое облако. Следует полагать, что фронтальная часть корабля имела плоскую поверхность площадью $S$ , перпендикулярную направлению скорости $V_0$ . Средняя масса одной пылевой частицы облака равна $m_0$ . Часть $\alpha$ пылинок облака, оказавшись липкими, соударялись с кораблем неупруго, остальные пылинки испытывали с обшивкой корабля упругие соударения. Концентрация пылевых частиц в облаке подчинялась закону:

n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} n_0\, x(D - x), & \text{если } \ 0 \le x \le D, \\ 0, & \text{если } \ x < 0, \text{ или } x > D. \end{array} \right\} \qquad (1)

Для сохранения скорости движения корабля $V_0$ его капитан включил двигатели, развивающие силу тяги F. Определите

а) время, в течение которого корабль прошел сквозь облако;

б) максимальную силу тяги корабля $F_{\max}$ ;

в) работу двигателей корабля при прохождении в облаке первых $\ell$ метров ( $\ell \ll D$ ).

Изменением массы корабля, обусловленным работой двигателей при движении в облаке, пренебречь. (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $V_0$ , $S$ , $n(x)$ , $m_0$ , $\alpha$ .

Найти: $t_{\mathrm{fly}}$ , $F_{\max}$ – ? $A$ – ?

Решение:

Согласно (1), характерный размер (диаметр) облака равен $D$ . Поскольку, корабль все время двигался равномерно со скоростью $V_0$ , то время его движения сквозь облако есть

t_{\mathrm{fly}} = \frac{D}{V_0}. \qquad (18)

При движении в пылевом облаке на корабль будет действовать сила лобового сопротивления, которая обусловлена столкновением обшивки корабля с пылевыми частицами и передачей им импульса, а, следовательно, и энергии. Определим данную силу.

Схема удара частицы о стенку: горизонтальная заштрихованная поверхность (ось Y влево, стрелка), вертикальная ось X вверх, точка удара O. Слева сверху к O движется частица с импульсом p (стрелка), справа от O она отлетает с импульсом p′; углы θ между траекториями и осью X отмечены дугами. — Рис. 12: к определению изменения импульса одной частицы.

Схема: горизонтальная ось x (стрелка влево), вдоль нее цилиндр из пунктирных линий; левое основание заштриховано сеткой и подписано S; справа наклонная плоская пластина; внизу размерная стрелка длины цилиндра с подписью V0·Δt. — Рис. 13: к определению числа соударений $\nu$ о стенку сосуда.

Для этого рассмотрим процесс падения отдельной пылевой частицы массы $m_0$ на обшивку корабля. В случае упругого удара $x$ и $y$ -проекции изменения частицы на выбранные оси координат есть

\Delta p_x^{(1)} = p'_x - p_x = p\cos\theta - (-p\cos\theta) = 2m_0 V_{\mathrm{rel}}\cos\theta,

\Delta p_y^{(1)} = p'_y - p_y = p\sin\theta - p\sin\theta = 0.

здесь $V_{\mathrm{rel}}$ – скорость движения частицы относительно корабля, $\theta$ – угол падения частицы на обшивку (см. рис. 12). Поскольку масса частиц много больше массы отдельных молекул газа, то их скорость хаотического движения пренебрежимо мала в сравнение с тепловой скоростью молекул при той же температуре (в силу зависимости $v \sim \sqrt{1/m_0}$ ). Следовательно, можно полагать, что $V_{\mathrm{rel}} \approx V_0$ . При этом углы падения будут малы и можно полагать что $\theta \approx 0^{\circ}$ . Т.о. изменение импульса пылевой частицы осуществляется лишь в направлении движения корабля и равно $\Delta p_x^{(1)} = 2m_0V_0$ . Аналогично рассуждая, можно показать, что изменение импульса частицы при неупругом соударении – $\Delta p_x^{(2)} = m_0V_0$ . За малый промежуток времени $\Delta t$ на фронтальную часть корабля падает $N$ пылевых частиц, содержащихся внутри цилиндра, основание которого имеет площадь $S$ (см. рис. 13). При этом

N = n\,\Delta V = n\,S\,V_0\,\Delta t,

тогда изменение импульса всех частиц этого цилиндра, упруго отраженных от обшивки корабля, есть

\Delta P^{(1)} = (1-\alpha)\,N\,\Delta p_x^{(1)} = 2m_0(1-\alpha)n\,S\,V_0^2\,\Delta t,\ \ \Rightarrow\ \ \frac{\Delta P^{(1)}}{\Delta t} = 2m_0(1-\alpha)n\,S\,V_0^2,

изменение импульса всех частиц этого цилиндра, испытавших неупругое столкновение с обшивкой корабля, есть

\Delta P^{(2)} = \alpha\,N\,\Delta p_x^{(2)} = m_0\,\alpha\,n\,S\,V_0^2\,\Delta t,\ \ \Rightarrow\ \ \frac{\Delta P^{(2)}}{\Delta t} = m_0\,\alpha\,n\,S\,V_0^2.

С использованием закона изменения импульса и третьего закона Ньютона, $x$ -проекция силы лобового сопротивления, действующая со стороны облака, представляется в виде:

F_x^{(r)} = -\left(\frac{\Delta P^{(1)}}{\Delta t} + \frac{\Delta P^{(2)}}{\Delta t}\right) = -m_0(2-\alpha)n\,S\,V_0^2. \qquad (19)

Следовательно, закон изменения импульса космического корабля можно представить в виде:

\Delta m V_0 = (F + F_x^{(r)})\Delta t,\ \Rightarrow\ F = \frac{\Delta m}{\Delta t}V_0 - F_x^{(r)} = m_0\,\alpha\,n\,S\,V_0^2 + m_0(2-\alpha)n\,S\,V_0^2,\ \Rightarrow

F = 2\,m_0\,n\,S\,V_0^2.

т.о. сила тяги ( $F$ ) двигателей космического аппарата в данном случае равна силе лобового сопротивления пылевого облака, в случае когда частицы облака испытывают лишь упругое столкновение с обшивкой корабля. Очевидно, что последняя величина принимает максимальное значение в случае, когда концентрация частиц достигает максимального значения. Опираясь на результат (1) не трудно видеть, что концентрация частиц определятся параболической зависимостью от $x$ . При этом ветки данной параболы направлены вниз, а максимум этой параболы достигается в точке $D/4$ ( $n_{\max} = n_0\,D^2/4$ ). Тогда

F_{\max} = 2\,m_0\,n_{\max}\,S\,V_0^2 = \frac{1}{2}\,m_0\,n_0\,D^2\,S\,V_0^2. \qquad (20)

Работа двигателей на первых $\ell$ метрах можно представить в виде:

A_{\ell} = F(x)\ell \approx 2\,m_0\,n_0\,\bar{x}\,D\,S\,V_0^2\,\ell \approx 2\,m_0\,n_0\,\frac{\ell}{2}\,D\,S\,V_0^2\,\ell = m_0\,n_0\,D\,S\,V_0^2\,\ell^2. \qquad (21)

При вычислении работы было учтено, что при малых $x$ , согласно (1), $n \approx n_0\,D\,\bar{x} = n_0\,D\,\ell/2$ .

Ответ: к задаче представляется результатами (18), (20), (21). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Справочные данные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1} \cdot$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-1]_8-9 classes.pdf