Съдържание

Условие Отговори Решение A.1. Основные физические и астрономические постоянные A.2. Данные о Солнце A.3. Данные о Земле A.4. Данные о Луне A.5. Формулы приближенного вычисления A.6. Характеристики орбит планет A.7. Физические характеристики Солнца и планет A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Самара 2017, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. «Закон планетных расстояний Фесенкова»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 15 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов заочного тура № 1». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 1 на проверку: 10.10.2016-15.12.2016!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Условие

Условие. В конце 50-х годов XX века советский академик В.Г.Фесенков предложил следующее правило (закон) для гелиоцентрического расстояния $i$ -ой планеты (в порядке удаленности от Солнца) Солнечной системы в зависимости от ее массы:

r_i = r_{i-1} \left[ 1 + k \left( \frac{\mathfrak{M}_i}{\mathfrak{M}_{\odot}} \right)^{1/3} \right], \qquad (2)

где $r_i$ – среднее гелиоцентрическое расстояние $i$ -й планеты от Солнца, $\mathfrak{M}_i$ – ее масса; $r_{i-1}$ – среднее гелиоцентрическое расстояние $i - 1$ -й планеты от Солнца; $\mathfrak{M}_{\odot}$ – масса Солнца; $k$ – коэффициент пропорциональности. С использованием данных по 8 классическим планетам и по 4 карликовым (см. таблицу 3), метода наименьших квадратов, определите коэффициент $k$ в формуле (2) с максимально возможной точностью. Вычислите также абсолютные и относительные погрешности данных расстояний, определяемых формулой (2). (15 баллов).

Отговори

Решение

Решение: прежде всего перейдем к новым переменным в законе (2): пусть

y_i = \frac{r_i}{r_{i-1}},\quad x_i = \left(\frac{\mathfrak{M}_i}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^{1/3}.

. Тогда данный закон можно представить в виде:

y_i = 1 + k\,x_i. \qquad (31)

Далее воспользуемся методом наименьших квадратов. Суть данного метода заключается в нахождении коэффициента линейной зависимости, при котором функция одной переменной $k$

F(k) = \sum_{i=1}^{N}(y_i - (1 + k\,x_i))^2, \qquad (32)

принимает наименьшее значение. То есть, при данном $k$ сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. Таким образом, решение задачи сводится к нахождению минимума функции одной переменной $F(k)$ . Преобразуем формулу (32):

F(k) = \sum_{i=1}^{N}((y_i - 1) - k\,x_i)^2 = \sum_{i=1}^{N}\left[(y_i - 1)^2 - 2k\,x_i\,(y_i - 1) + k^2\,x_i^2\right] =

\sum_{i=1}^{N}(y_i - 1)^2 - 2k\sum_{i=1}^{N} x_i\,(y_i - 1) + k^2\sum_{i=1}^{N} x_i^2 = c - 2b\,k + a\,k^2, \qquad (33)

\text{где}\ \ c = \sum_{i=1}^{N}(y_i - 1)^2,\ \ b = \sum_{i=1}^{N} x_i\,(y_i - 1),\ \ a = \sum_{i=1}^{N} x_i^2 > 0. \qquad (34)

Очевидно, что функция (33) есть парабола по переменной $k$ . Найдем нули функции $F(k)$ :

a\,k^2 - 2b\,k + c = 0,\ \ \Rightarrow \qquad (35)

k_1 = \frac{1}{a}\left(b + \sqrt{b^2 - a\,c}\right),\ \ k_2 = \frac{1}{a}\left(b - \sqrt{b^2 - a\,c}\right). \qquad (36)

Планета	$i$	$\mathfrak{M}_i$ , кг	$x_i$ , $\times 10^{-3}$	$a_i$ , а.е.	$y_i$	$k$	$r_i$ , а.е.	$\Delta r_i$ , а.е.	$\varepsilon_{r_i}$ , %
Меркурий	1	$3.148 \cdot 10^{23}$	5.409	0.387	–		–	–	–
Венера	2	$4.866 \cdot 10^{24}$	13.476	0.723	1.869		0.500	0.223	30.8
Земля	3	$5.973 \cdot 10^{24}$	14.428	1.000	1.383		0.950	0.050	5.0
Марс	4	$6.421 \cdot 10^{23}$	6.860	1.524	1.524		1.149	0.375	24.6
Юпитер	5	$1.898 \cdot 10^{27}$	98.464	5.204	3.416		4.780	0.424	8.1
Сатурн	6	$5.684 \cdot 10^{26}$	65.872	9.582	1.841	21.707	12.646	3.064	32.0
Уран	7	$8.660 \cdot 10^{25}$	35.183	19.189	2.002		16.900	2.289	11.9
Нептун	8	$1.027 \cdot 10^{26}$	37.244	30.071	1.567		34.703	4.632	15.4
Плутон	9	$1.303 \cdot 10^{22}$	1.872	39.482	1.313		31.292	8.190	20.7
Хаумеа	10	$4.006 \cdot 10^{21}$	1.263	43.218	1.095		40.564	2.654	6.1
Макемаке	11	$3.000 \cdot 10^{21}$	1.147	45.715	1.058		44.294	1.421	3.1
Эрида	12	$1.670 \cdot 10^{22}$	2.033	67.781	1.483		47.732	20.049	29.6

Таблица 5: Результаты расчетов искомых величин и основные результаты

Поскольку ветки данной параболы направлены вверх (параметр $a > 0$ ), то данная парабола имеет лишь один минимум, который должен лежать на прямой (на оси симметрии кривой), уравнение которой есть

k_{\min} = \frac{1}{2}\,(k_1 + k_2) = \frac{b}{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} x_i\,y_i - \sum_{i=1}^{N} x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} x_i^2} \qquad (37)

В таблице 5 представлены численные значения параметров $x_i$ , $y_i$ . Здесь же представлены численное значение параметра $k$ , гелиоцентрические радиусы планет, вычисленные согласно (2), абсолютные и относительные ошибки в определении искомых расстояний. Из данной таблицы видно, что с наибольшей точностью данный закон предсказывает гелиоцентрические расстояния Земли, Юпитера, Хаумеи, Макемаке (ошибка не превосходит 8.1%). С наибольшей ошибкой определяются расстояния до Марса, Сатурна и Эриды (ошибка достигает 32%).

Заметим, что точность прогнозов закона (2) можно повысить, если отказаться от предположения, что в данном законе первое слагаемое равно "1". Так на рис. 14.а) представлены все точки, соответствующие рассматриваемым планетам, а также две кривые, соответствующие зависимости вида (31) и ее обобщенной форме (построенной также по методу наименьших квадратов):

y = a + k\,x, \qquad (38)

здесь $a$ – параметр, отличный от "1". Из рисунка видно, что последняя кривая проходит более симметрично между данными точками, а следовательно, будет иметь большую точность.

Четыре графика y от x с точками данных, синей пунктирной прямой y=1+k·x и красной сплошной прямой y=a+k·x: а) «Все планеты» (x от 0.00 до 0.10, y от 1.0 до 3.5), б) «Планеты земной группы» (x от 0.00 до 0.10), в) «Планеты-гиганты» (x от 0.00 до 0.10), г) «Планеты-карлики» (ось x, ×10⁻⁴ от 0 до 20, y от 0.6 до 1.4). Внизу легенда с обозначениями двух прямых. — Рис. 14: точки, отвечающие данным по планетам и соответствующие линейные зависимости в случае а) всех планет, б) планет земной группы, в) планет-гигантов, г) планет-карликов.

Планеты	Для зав-ти (2)	Для зав-ти (38)
Планеты	$k$	$a$	$k$
Все	21.707	1.232	17.995
земной группы	24.820	1.224	22.120
гиганты	20.989	0.775	24.186
карлики	166.215	0.537	443.222

Таблица 6: значения параметров $a, k$ для зависимостей (2), (38).

Можно также повысить точность закона, если отдельно рассмотреть точки, соответствующие планетам земной группы, планетам-гигантам и планетам-карликам (см. рис. 14.б-г). Для полноты картины в таблице 6 представлены значения коэффициентов $k$ , в случае зависимости (2), так и коэффициенты $(a, k)$ в случае (38). Из приведенных результатов видно, что значения коэффициента $k$ для разных групп планет существенно различаются.

Ответ: $k = 21.707$ , абсолютные и относительные погрешности данных расстояний представлены в таблице 5. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Справочные данные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1} \cdot$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-1]_8-9 classes.pdf