Съдържание

Условие Отговори Решение A.1. Основные физические и астрономические постоянные A.2. Данные о Солнце A.3. Данные о Земле A.4. Данные о Луне A.5. Формулы приближенного вычисления A.6. Характеристики орбит планет A.7. Физические характеристики Солнца и планет A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Самара 2017, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 9. «Бинокль и наблюдения объектов ночного неба»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 8 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов заочного тура № 1». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 1 на проверку: 10.10.2016-15.12.2016!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Условие

Условие. Начинающий астроном-любитель приобрел для наблюдений объектов ночного небосвода бинокль Nikon Aculon A211 $8 \times 42$ , основные характеристики которого представлены в таблице 1.

Параметр	$\Gamma$	$D$ , мм	$\omega$ , град	$d$ , мм
Значение	$8^{\times}$	42	8	5.3

$\Gamma$ – угловое увеличение бинокля, $D$ – диаметр объектива, $\omega$ – угловое поле зрения бинокля, $d$ – диаметр выходного зрачка.

Таблица 1: Основные характеристики бинокля Nikon Aculon A211 $8 \times 42$ .

Следует учесть, что в темное время суток разрешающая способность глаз астронома падает до $4'$ , при этом в условиях городской засветки, атмосферной пылевой дымки и повышенной влажности, проницающая сила инструмента на $1.5^{\mathrm{m}}$ меньше значения, соответствующего случаю идеальных условий наблюдений. Какие из представленных в таблице 2 объектов Вы рекомендуете ему пронаблюдать?

При составлении рекомендации следует учесть, что все составляющие данные объектов должны быть отчетливо видны в бинокль, при этом в поле зрения бинокля должны полностью помещаться указанные составляющие. (8 баллов).

№	Объект	Главные особенности
1	Плеяды (М45)	рассеянное звездное скопление, звездная величина наиболее ярких звезд – $3 \div 4^m$ , угловые размеры $110' \times 110'$
2	Кошачий Глаз, (NGC 6543)	планетарная туманность в созвездии Дракона, с угловыми размерами $23'' \times 17''$ и звездной величиной – $m = 9.8^m$
3	Летне-осенний треугольник	астеризм северного полушария небесной сферы. Представляет собой треугольник из трех ярких звезд: Вега ( $18^{\mathrm{h}}37^{\mathrm{m}}30^{\mathrm{s}}, +38^{\circ}48'01''$ ; $0.0^m$ ), Денеб ( $20^{\mathrm{h}}42^{\mathrm{m}}00^{\mathrm{s}}, +45^{\circ}20'27''$ ; $1.25^m$ ) и Альтаир ( $19^{\mathrm{h}}51^{\mathrm{m}}36^{\mathrm{s}}, +8^{\circ}54'49''$ ; $0.75^m$ )
4	M80	шаровое звездное скопление в созвездии Скорпиона, видимая звездная величина $m = 7.87^m$ , угловой диаметр $D'' = 10''$
5	Галактика Андромеды (M31)	спиральная галактика в созвездии Андромеда, угловые размеры – $3.2 \times 1.0^{\circ}$ , звездная величина – $m = +3.44^{\mathrm{m}}$ .
6	Мицар и Алькор	оптически двойная звезда, угловое расстояние между компонентами $d'' = 708''$ , звездные величины $m_1 = 2.17^m$ , $m_2 = 4.02^m$
7	NGC 4676 (Мыши)	это пара взаимодействующих галактик, размеры которых $1.4 \times 0.6'$ и $2.2 \times 0.8'$ , звездные величины $13.5^m$ и $13.8^m$ , угловое расстояние между которыми – $d'' = 7'$
8	Сердце Карла ( $\alpha$ Гончих псов)	визуально двойная звезда, угловое расстояние между компонентами $d'' = 19''$ , звездные величины компонент $m_1 = 2.9^m$ , $m_2 = 5.6^m$
9	M 57	планетарная туманность с угловыми размерами $2.5' \times 2'$ и звездной величиной – $m = 8.8^m$ .
10	$\mu$ Близнецов	оптически двойная звезда, угловое расстояние между компонентами $d'' = 122''$ , звездные величины $m_1 = 3.19^{\mathrm{m}}$ , $m_2 = 9.8^m$ .

Таблица 2: некоторые достопримечательности ночного небосвода.

Отговори

Решение

Решение: согласно условию задачи, все составляющие предложенного объекта должны быть отчетливо видны в бинокль, при этом в поле зрения бинокля должны полностью помещаться указанные составляющие. Это означает, что характерные угловые размеры ( $D''$ ) данного объекта не должны быть больше поля зрения бинокля ( $\omega$ ). С другой стороны, чтобы эти компоненты были отчетливо видны или объект был виден как протяженный объект необходимо, чтобы его угловые размеры были не меньше разрешающей способности бинокля ( $\beta_b$ ), т.е.

\beta_b \le D'' < \omega.

Согласно, условию задачи разрешающая способность глаза наблюдателя в ночное время составляет $\beta_y = 4' = 240''$ , тогда разрешающая способность бинокля в данных условиях будет равна

\beta_b = \frac{\beta_y}{\Gamma} = 30''. \qquad (8)

Следовательно, ограничение на угловые масштабы объекта представляется в виде:

30'' \le D'' < 8^{\circ}. \qquad (9)

Чтобы составляющая объекта (например, звезда) была отчетливо видна, необходимо чтобы ее звездная величина ( $m_*$ ) была не больше проницающей силы бинокля ( $m_b$ ) в данных условиях, т.е.

m_* \le m_b,

Определим проницающую силу бинокля в идеальных условиях наблюдений. Для этого учтем, что диаметр зрачка человека в ночное время составляет приблизительно $d_y = 6$ мм. Диаметр объектива бинокля, согласно условию задачи, равен $D_T = 42$ . Тогда отношение потоков излучения (от какого-либо небесного тела), собираемых биноклем и глазом наблюдателя, определяется как

\frac{\Phi_b}{\Phi_y} = \frac{E_* \pi D_T^2}{E_* \pi d_y^2} = \left(\frac{D_T}{d_y}\right)^2 = 49 \approx (2.512)^4.

Если проницающая сила здорового глаза наблюдателя в ночных условиях наблюдений есть $m_y = 6^{\mathrm{m}}$ , то проницающая сила бинокля есть

m_b^{(0)} \approx m_y + 4^{\mathrm{m}} = 10^{\mathrm{m}}.

Более точное значение можно получить с использованием известной логарифмической формулы:

m_b^{(0)} = 2.1^{\mathrm{m}} + 5.0^{\mathrm{m}} \lg D = 10.2^{\mathrm{m}}. \qquad (10)

Следовательно, проницающая сила бинокля в данных условиях есть

m_b = m_b^{(0)} - 1.5^{\mathrm{m}} = 8.7^{\mathrm{m}}. \qquad (11)

Следовательно, звездная величина ( $m_*$ ) составляющей объекта должна удовлетворять условию:

m_* \le 8.7^{\mathrm{m}}. \qquad (12)

Очевидно, из списка предложенных космических объектов условиям (9), (12) удовлетворяют лишь 1) Плеяды (М45), 5) Галактика Андромеды (M31), 6) Мицар и Алькор. Именно данные объекты небосвода следует рекомендовать для наблюдений в данный оптический инструмент. Они будут выглядеть в него весьма эффектно.

Ответ: следует рекомендовать для наблюдений в данный оптический инструмент 1) рассеянное скопление Плеяды (М45), 5) Галактику Андромеды (M31), 6) Мицар и Алькор. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Справочные данные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1} \cdot$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-1]_8-9 classes.pdf