Съдържание

Самара 2017, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 6. «Параллаксы Солнца»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2 · 5 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11. Тур № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 2 на проверку: 15.02.2017-30.04.2017!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Условия задач

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Дорогие Друзья! (указание участникам)

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Решения задач

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Условие

Определите параллакс Солнца, обусловленный

а) движением Земли вокруг центра масс системы «Земля-Луна»;

б) движением Луны вокруг той же точки.

Какова площадь полосы небосвода, в пределах которой будет "блуждать" Солнце относительно эклиптики для земного наблюдателя, благодаря указанному движению? (5 баллов).

Отговори

Решение

Решение: Как известно, система «Земля-Луна» движется относительно общего центра масс в результате взаимного гравитационного притяжения. Именно центр масс движется по эллиптической орбите вокруг Солнца в течение года. Определим большие полуоси эллиптических орбит, по которым движутся центры Земли и Луны относительно их центра масс. Для этого воспользуемся определением радиуса-вектора центра масс:

\vec{\mathfrak{R}}_c = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2} \qquad (15)

Перейдем в систему отсчета, начало которой совпадает с центром масс данной пары тел, тогда $\vec{\mathfrak{R}}_c = 0$ , следовательно

m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 = 0,\ \ \Rightarrow\ \ \frac{m_1}{m_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{a_2}{a_1}. \qquad (16)

При записи последнего равенства мы учли, что полярный радиус-вектор небесного тела пропорционален большой полуоси его эллиптической орбиты (см. решение задачи № 16 настоящего релиза). Учитывая так же, что

a_1 + a_2 = a_0, \qquad (17)

в результате получаем

a_1 = \left(\frac{\eta}{1+\eta}\right) a_0,\ \ a_2 = \left(\frac{1}{1+\eta}\right) a_0,\ \ \text{где}\ \ \eta = \frac{m_2}{m_1}. \qquad (18)

Полагая далее, что «1» – Земля ( $\oplus$ ), а «2» – Луна ( $\text{☾}$ ), в итоге получаем

\bar{a}_{\oplus} = 4671\ \text{км},\ \ \bar{a}_{\text{☾}} = 379728\ \text{км},\ \ \text{где}\ \ \eta = 1.23 \cdot 10^{-2}. \qquad (19)

а) Параллакс Солнца, обусловленный движением Земли вокруг центра масс системы «Земля-Луна», есть

Схема: горизонтальная голубая линия — плоскость орбиты системы, на ней центр масс C и справа Солнце S; наклонный красный отрезок через C соединяет Землю E (вверху) и Луну (внизу слева) под углом i☾ к плоскости; из E опущен перпендикуляр ℓ на точку D; пунктир от E к S образует угол γ с плоскостью, горизонтальный голубой пунктир от E; снизу размер a₀ от C до S; подпись «плоскость орбиты системы». — Рис. 5: к определению площади полосы небосвода, в пределах которой будет "блуждать" Солнце относительно эклиптики.

P''_{\oplus} = \frac{\bar{a}_{\oplus}}{a_0} \cdot 206265'' = 6.4'', \qquad (20)

где $a_0 = 149597870$ км – большая полуось орбиты системы относительно Солнца.

б) Параллакс Солнца, обусловленный движением Луны вокруг центра масс системы «Земля-Луна», равен

P''_{\text{☾}} = \frac{\bar{a}_{\text{☾}}}{a_0} \cdot 206265'' = 523.6'' = 8.7'. \qquad (21)

Как известно, наклонение плоскости орбит системы «Луна-Земля» равен $i_{\text{☾}} = 5^{\circ}9'$ (как у орбиты Луны относительно центра Земли). Следовательно, центр Земли может подниматься выше (ниже) плоскости эклиптики на величину, не превышающую

\ell = \bar{a}_{\oplus} \cdot \sin i_{\text{☾}} = 419.3\ \text{км}.

При этом Солнце для земного наблюдателя сместится на угол $\gamma$ , для которого можно записать

\sin\gamma = \frac{\ell}{a_0 - \bar{a}_{\oplus}\cos i_{\text{☾}}} \approx \left(\frac{\bar{a}_{\oplus}}{a_0}\right)\sin\gamma_{\text{☾}}.

Очевидно, что угол $\gamma$ является малым, следовательно,

\gamma \approx \left(\frac{\bar{a}_{\oplus}}{a_0}\right) \cdot \sin i_{\text{☾}} = 2.803 \cdot 10^{-6}\ \text{рад} = 0.578''. \qquad (22)

Следовательно, площадь (угловая) полосы небосвода, в пределах которой будет «блуждать» Солнце относительно эклиптики, есть

S_{\odot} = 2\pi \cdot (2\gamma) = 3.52 \cdot 10^{-5}\ \text{срад} = 0.12\ \text{кв.град}. \qquad (23)

Ответ: $P''_{\oplus} = 6.44''$ ; $P''_{\text{☾}} = 524'' = 8.7'$ ; $S_{\odot} = 0,12$ кв.град. (5 баллов).

Справочные данные

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8\ \text{м/с}$
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{K}^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}\ \text{кг}$
Астрономическая единица – $1\ \text{а.е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек – $1\ \text{пк} = 206265\ \text{а.е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} \cdot \text{с}^{-1} \cdot \text{Мпк}^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г $\cdot$ см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim 1\%$ )

A.4. Данные о Луне

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или $1/81.3$ массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г $\cdot$ см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{array}{l} \sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x; \\ \sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\, \cos\alpha; \\ \cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\, \sin\alpha; \\ \mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \dfrac{x}{\cos^2\alpha}; \\ (1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{array}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^{*}$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^{*}$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

Рис. А.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

A.10. Некоторые характеристики звезд

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-2]_10-11 classes.pdf