Самара 2017, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 4. Потенциальные энергии и их связь

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2 · 15 февруари 2017 г. · 4 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень A), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9. Тур № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Памятка участника SamRAS-2017

  1. Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
  2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
  3. Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 2 на проверку: 15.02.2017-30.04.2017!!!
  4. Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
  5. Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356
Дорогие Друзья! (перед задачами)

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Титульный лист решений

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2017 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ. ТУР № 2

Самара, 2017г.

Дорогие Друзья! (файл решений)

Дорогие Друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2017 (файл решений)

Памятка участника SamRAS-2017

  1. Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
  2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
  3. Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 2 на проверку: 15.02.2017-30.04.2017!!!
  4. Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
  5. Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356
Условия задач (файл решений)

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Решения задач

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Условие

Условие. Как известно, потенциальная энергия пробного тела в поле силы тяжести Земли определяется выражением вида:

Ug=m g h,(1)U_g = m\,g\,h, \qquad (1)

где mm – масса данного тела, gg – ускорение свободного падения; hh – высота над поверхностью планеты. Потенциальная энергия пробного тела в поле силы притяжения, действующей со стороны Земли на пробное тело, есть

UG=−G m M⊕(R⊕+h).(2)U_G = -\frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{(\mathfrak{R}_{\oplus} + h)}. \qquad (2)

здесь GG – универсальная гравитационная постоянная (значение см. в разделе "Справочные данные"); M⊕,R⊕\mathfrak{M}_{\oplus}, \mathfrak{R}_{\oplus} – масса и радиус Земли. Какое из представленных выражений является более общим? Свою точку зрения следует обосновать посредством вывода одного выражения из другого. (4 балла).

Отговори

Решение

Справочные данные

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

  • Гравитационная постоянная – G=6.674⋅10−11 м3⋅кг−1⋅c−2G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}
  • Скорость света в вакууме – c=2.998⋅108 м/сc = 2.998 \cdot 10^8\ \text{м/с}
  • Универсальная газовая постоянная – R=8.31 кг⋅м2⋅с−2⋅K−1⋅моль−1R = 8.31\ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}
  • Постоянная Стефана-Больцмана – σ=5.67⋅10−8 кг⋅с−3⋅K−4\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{K}^{-4}
  • Постоянная Авогадро – NA=6.022⋅1023 моль−1N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}
  • Масса протона – mp=1.67⋅10−27 кгm_p = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}
  • Масса электрона – me=9.11⋅10−31 кгm_e = 9.11 \cdot 10^{-31}\ \text{кг}
  • Астрономическая единица – 1 а.е.=1.496⋅1011 м1\ \text{а.е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}
  • Парсек – 1 пк=206265 а.е.=3.086⋅1016 м1\ \text{пк} = 206265\ \text{а.е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}
  • Постоянная Хаббла – H=72 км⋅с−1⋅Мпк−1H = 72\ \text{км} \cdot \text{с}^{-1} \cdot \text{Мпк}^{-1}
A.2. Данные о Солнце

A.2. Данные о Солнце

  • Радиус – 6.955⋅1056.955 \cdot 10^5 км
  • Масса – 1.989⋅10301.989 \cdot 10^{30} кг
  • Светимость – 3.827⋅10263.827 \cdot 10^{26} Вт
  • Спектральный класс – G2
  • Видимая звездная величина – −26.74m-26.74^m
  • Абсолютная болометрическая звездная величина – +4.83m+4.83^m
  • Показатель цвета (B-V) – +0.67m+0.67^m
  • Эффективная температура – 5778 K
  • Средний горизонтальный параллакс – 8.794′′8.794''
  • Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м2^2
  • Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м2^2
A.3. Данные о Земле

A.3. Данные о Земле

  • Эксцентриситет орбиты – 0.017
  • Тропический год – 365.24219 сут
  • Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
  • Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
  • Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – 23∘ 26′ 21.45′′23^{\circ}\,26'\,21.45''
  • Средний по объему радиус – 6371.0 км
  • Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
  • Длина земного меридиана – 20004.276 км
  • Полярный радиус – 6356.77 км
  • Масса – 5.974⋅10245.974 \cdot 10^{24} кг
  • Средняя плотность – 5.52 г⋅\cdotсм−3^{-3}
  • Объемный состав атмосферы – N2_2 (78%), O2_2 (21%), Ar (∼1%\sim 1\%)
A.4. Данные о Луне

A.4. Данные о Луне

  • Среднее расстояние от Земли – 384400 км
  • Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
  • Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
  • Эксцентриситет орбиты – 0.055
  • Наклон плоскости орбиты к эклиптике – 5∘09′5^{\circ}09'
  • Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
  • Синодический период обращения – 29.530589 сут
  • Радиус – 1738 км
  • Масса – 7.348⋅10227.348 \cdot 10^{22} кг или 1/81.31/81.3 массы Земли
  • Средняя плотность – 3.34 г⋅\cdotсм−3^{-3}
  • Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
  • Видимая звездная величина в полнолуние −12.7m-12.7^m
A.5. Формулы приближенного вычисления

A.5. Формулы приближенного вычисления

sin⁡x≈tg x≈x;sin⁡(x±α)≈sin⁡α±x cos⁡α;cos⁡(x±α)≈cos⁡α∓x sin⁡α;tg(x±α)≈tg α±xcos⁡2α;(1+x)n≈1+n x;\begin{array}{l} \sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x; \\ \sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\, \cos\alpha; \\ \cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\, \sin\alpha; \\ \mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \dfrac{x}{\cos^2\alpha}; \\ (1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{array}

здесь x≪1x \ll 1, все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

A.6. Характеристики орбит планет

ПланетаБольшая полуось, млн. кмБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетНаклон к плоскости эклиптики, градусыПериод обращенияСинодический период, сут
Меркурий57.90.38710.20567.00487.97 сут115.9
Венера108.20.72330.00683.394224.70 сут583.9
Земля149.61.00000.01670.000365.26 сут–
Марс227.91.52370.09341.850686.98 сут780.0
Юпитер778.35.20280.04831.30811.862 лет398.9
Сатурн1429.49.53880.05602.48829.458 лет378.1
Уран2871.019.19140.04610.77484.01 лет369.7
Нептун4504.330.06110.00971.774164.79 лет367.5
A.7. Физические характеристики Солнца и планет

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

ПланетаМасса, кгМасса, массы ЗемлиРадиус, кмРадиус, радиусы ЗемлиПлотность, г⋅\cdotсм−3^{-3}Период вращения вокруг осиНаклон экватора к плоскости орбиты, градусыГеометрич. альбедоВид. звездная величина∗^{*}
Солнце1.989⋅10301.989 \cdot 10^{30}332946695500108.971.4125.380 сут7.25–−26.8m-26.8^m
Меркурий3.302⋅10233.302 \cdot 10^{23}0.052712439.70.38255.4258.646 сут0.000.10−0.1-0.1
Венера4.869⋅10244.869 \cdot 10^{24}0.814766051.80.94885.20243.019 сут†^{\dagger}177.360.65−4.4m-4.4^m
Земля5.974⋅10245.974 \cdot 10^{24}1.000006378.11.00005.5223.934 час23.450.37–
Марс6.419⋅10236.419 \cdot 10^{23}0.107453397.20.53263.9324.623 час25.190.15−2.0m-2.0^m
Юпитер1.899⋅10271.899 \cdot 10^{27}317.947149211.2091.339.924 час3.130.52−2.7m-2.7^m
Сатурн5.685⋅10265.685 \cdot 10^{26}95.181602689.44940.6910.656 час25.330.470.4m0.4^m
Уран8.683⋅10258.683 \cdot 10^{25}14.535255594.00731.3217.24 час†^{\dagger}97.860.515.7m5.7^m
Нептун1.024⋅10261.024 \cdot 10^{26}17.135247463.87991.6416.11 час28.310.417.8m7.8^m

∗^{*} для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

†^{\dagger} – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

СпутникМасса, кгРадиус, кмПлотность, г⋅\cdotсм−3^{-3}Радиус орбиты, кмПериод обращения, сутГеометрич. альбедоВид. звездная величина∗^{*}
Земля
Луна7.348⋅10227.348 \cdot 10^{22}17383.3438440027.321660.12−12.7-12.7
Марс
Фобос1.08⋅10161.08 \cdot 10^{16}∼10\sim 102.093800.319100.0611.3
Деймос1.8⋅10151.8 \cdot 10^{15}∼6\sim 61.7234601.262440.0712.4
Юпитер
Ио8.94⋅10228.94 \cdot 10^{22}18153.554218001.7691380.615.0
Европа4.8⋅10224.8 \cdot 10^{22}15693.016711003.5511810.645.3
Ганимед1.48⋅10231.48 \cdot 10^{23}26311.9410704007.1545530.424.6
Каллисто1.08⋅10231.08 \cdot 10^{23}24001.86188280016.689020.205.7
Сатурн
Тефия7.55⋅10207.55 \cdot 10^{20}5301.212946601.8878020.910.2
Диона1.05⋅10211.05 \cdot 10^{21}5601.433774002.7369150.710.4
Рея2.49⋅10212.49 \cdot 10^{21}7651.335270404.5175000.79.7
Титан1.35⋅10231.35 \cdot 10^{23}25751.88122185015.945420.218.2
Япет1.88⋅10211.88 \cdot 10^{21}7301.21356080079.330180.20∼11.0\sim 11.0
Уран
Миранда6.33⋅10196.33 \cdot 10^{19}235.81.151299001.4134790.2716.3
Ариэль1.7⋅10211.7 \cdot 10^{21}578.91.561909002.5203790.3414.2
Умбриэль1.27⋅10211.27 \cdot 10^{21}584.71.522660004.1441770.1814.8
Титания3.49⋅10213.49 \cdot 10^{21}788.91.704363008.7058720.2713.7
Оберон3.03⋅10213.03 \cdot 10^{21}761.41.6458350013.463240.2413.9
Нептун
Тритон2.14⋅10222.14 \cdot 10^{22}13502.073548005.87685†^{\dagger}0.713.5

∗^{*} – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

†^{\dagger} – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Круговая диаграмма: в центре Солнце, вокруг него орбита Земли с 12 положениями Земли и стрелкой направления движения; от Солнца через положения Земли проведены лучи к внешнему цветному кольцу созвездий эклиптики с числом дней пребывания Солнца и датами границ: Лев 37 д (16.09–10.08), Рак 20 д (10.08–21.07), Близнецы 31 д (21.07–20.06), Телец 37 д (20.06–14.05), Овен 25 д (14.05–19.04), Рыбы 38 д (19.04–12.03), Водолей 24 д (12.03–16.02), Козерог 28 д (16.02–20.01), Стрелец 32 д (20.01–18.12), Змееносец 18 д (18.12–30.11), Скорпион 7 д (30.11–23.11), Весы 23 д (23.11–31.10), Дева 45 д (31.10–16.09).
Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.
A.10. Некоторые характеристики звезд

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки ΔMb\Delta M_b

СпектрΔMb\Delta M_bСпектрΔMb\Delta M_b: Гл. последовательностьΔMb\Delta M_b: ГигантыΔMb\Delta M_b: Сверхгиганты
B0– 2.70F5– 0.04– 0.08– 0.12
B5– 1.58F8– 0.05– 0.17– 0.28
A0– 0.72G0– 0.06– 0.25– 0.42
A5– 0.31G2– 0.07– 0.31– 0.52
F0– 0.09G5– 0.10– 0.39– 0.65
F2– 0.04G8– 0.10– 0.47– 0.80
K0– 0.11– 0.54– 0.93
K2– 0.15– 0.72– 1.20
K3– 0.31– 0.89– 1.35
K4– 0.55– 1.11– 1.56
K5– 0.85– 1.35– 1.86
M0– 1.43– 1.55– 2.2
M1– 1.70– 1.72– 2.6
M2– 2.03– 1.95– 3.0
M3– 2.35– 2.26– 3.6
M4– 2.7– 2.72– 3.8
M5– 3.1– 3.4– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-2]_8-9 classes.pdf