Съдържание

Самара 2018, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. Двойные астероиды и их характеристики

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2018

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 1 · 12 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2018

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2018 тура № 1 на проверку: 15.10.2017-15.01.2018!!!
Электронный ящик SamRAS-2018: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2018, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Дорогие Друзья! (документ решений)

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Условие

В настоящее время в главном поясе астероидов (ГПА) насчитывается более 700 тыс. астероидов, но по оценкам ученых их общее количество составляет 1.5 млн., среди которых некоторые образуют гравитационно связанные пары. Однако, размеры данных пар не могут быть больше некоторого критического значения. Причем данное значение существенно зависит от положения двойной системы в поясе. Объясните причину такого ограничения. Учитывая, что внутренняя и внешняя границы ГПА отстоит от Солнца на расстояниях 2.2 и 3.6 а.е. соответственно, а занимаемая им область есть круглый тор, определите минимальное и максимальное значения для большой полуоси орбиты относительного движения компонентов двойной системы и соответствующее значение периода их обращения относительного общего центра масс. Численные расчеты провести для двух одинаковых астероидов с радиусами, равными 1 км и массовой плотностью 2.5 г/см $^3$ . (12 баллов).

Отговори

Решение

Решение. На движение астероидов ГПА, главным образом, оказывают гравитационное воздействие два массивных тела Солнечной системы: Солнце и Юпитер. Их приливные силы, действующие на двойные и кратные системы взаимодействующих астероидов, способствуют их разрушению. Рассмотрим пару взаимодействующих астероидов и Солнце. Ради простоты рассуждений будем полагать, что орбита двойной системы совпадает с плоскостью их орбиты относительно Солнца. Если астероиды отстоят друг от друга на искомом предельном расстоянии $r$ , то в этом случае, сила притяжения, действующая на данный астероид $A_2$ со стороны астероида $A_1$ , должна быть скомпенсирована силой приливного действия Солнца, т.е.

\frac{G\,\mathfrak{M}^2}{r^2} = \frac{G\,\mathfrak{M}\,\mathfrak{M}_\odot}{r_\odot^3}\cdot 2r, \qquad (55)

где $r_\odot$ – гелиоцентрическое расстояние двойной системы. При бо́льших расстояниях между компонентами сила приливного действия Солнца становится больше силы взаимного притяжения астероидов, и потому такие пары будут разорваны приливным действием центральной звезды. При записи (55) учтено, что расстояние между астероидами (56) должно быть много меньше $r_\odot$ , т.е. $r \ll r_\odot$ . Из (55) следует, что максимально допустимое расстояние (критическое значение) между астероидами есть

r = r_\odot\sqrt[3]{\frac{\mathfrak{M}}{2\mathfrak{M}_\odot}}. \qquad (56)

Очевидно, что последний результат сильно зависит от гелиоцентрического расстояния системы. Чтобы система существовала длительное время, необходимо чтобы

r \le r_{\max} = \sqrt[3]{\frac{\mathfrak{M}}{2\mathfrak{M}_\odot}}\cdot r_{\odot\,\min}, \qquad (57)

здесь $r_{\odot\,\min}$ – минимальное гелиоцентрическое расстояние. Очевидно, что последний результат зависит от большой полуоси астероида. Согласно условию задачи,

2.2\ \text{а.е.}\ \le a_a \le 3.6\ \text{а.е.} \qquad (58)

Следовательно, параметр $r_{\max}$ будет изменяться в пределах

454\ \text{км} \le r_{\max} \le 744\ \text{км}. \qquad (59)

здесь учтено, что масса астероида с $R = 1$ км есть

\mathfrak{M} = \frac{4\pi}{3}\rho_a R^3 = 1.05\cdot 10^{13}\ \text{кг}. \qquad (60)

Далее воспользуемся вторым законом Ньютона для астероида из двойной системы

\mathfrak{M}\frac{4\,\pi^2\,r_{\max}}{2\,T^2} = \frac{G\,\mathfrak{M}^2}{r_{\max}^2},\ \ T = \pi\sqrt{\frac{2}{G\,\mathfrak{M}}}r_{\max}^{3/2}. \qquad (61)

Следовательно, возможные значения периода обращения представляются в виде:

1.63\ \text{лет} \le T \le 3.41\ \text{лет}. \qquad (62)

Выполним подобный анализ в случае Юпитера: здесь $r_{J\,\min} = a_J - a_a$ (в случае противостояния Юпитера), где $a_J$ – большая полуось орбиты Юпитера. В итоге, имеем

r_{\max} = \sqrt[3]{\frac{\mathfrak{M}}{2\mathfrak{M}_J}}(a_J - a_a). \qquad (63)

Следовательно, параметр $r_{\max}$ будет изменяться в пределах

r_{\max}^{(\min)} \le r_{\max} \le r_{\max}^{(\max)},\ \ \text{где} \qquad (64)

r_{\max}^{(\min)} = \sqrt[3]{\frac{\mathfrak{M}}{2\mathfrak{M}_J}}(a_J - a_a^{(\max)}),\ \ r_{\max}^{(\max)} = \sqrt[3]{\frac{\mathfrak{M}}{2\mathfrak{M}_J}}(a_J - a_a^{(\min)}). \qquad (65)

Следовательно,

3366\ \text{км} \le r_{\max} \le 6305\ \text{км}. \qquad (66)

Соответствующие возможные значения периода обращения системы представляются в виде:

T_{\min} \le T \le T_{\max},\ \ \text{где} \qquad (67)

T_{\min} = \pi\sqrt{\frac{1}{G\,\mathfrak{M}_J}}(a_J - a_a^{(\max)})^{3/2},\ \ T_{\max} = \pi\sqrt{\frac{1}{G\,\mathfrak{M}_J}}(a_J - a_a^{(\min)})^{3/2}. \qquad (68)

или

32.84\ \text{лет} \le T \le 84.20\ \text{лет}. \qquad (69)

Из сопоставления интервалов (59) и (66) следует, что ограничение на размеры двойных и кратных систем астероидов налагает именно Солнце, а не Юпитер!

Замечание. Разрушающее действие на двойные астероиды могут также оказывать и другие такие же астероиды. Убедимся, что влиянием последних можно пренебречь. Для этого оценим среднее расстояние между астероидами в главном поясе. Прежде всего, вычислим их концентрацию в главном поясе:

n = \frac{N}{V}. \qquad (70)

где $V$ – объем главного пояса. Согласно условию задачи, форма пояса близка к форме круглого тора (баранки). Объем последнего можно вычислить по теореме Гульдена-Паппа, в виде:

V = 2\pi\bar{r}\,\pi\,R_T^2 = 2\pi^2\,\bar{r}\,R_T^2, \qquad (71)

здесь $\bar{r}$ – среднее расстояние от оси вращения тора до центра его геометрического сечения. В случае ГПА имеем

\bar{r} = \frac{r_{\min} + r_{\max}}{2} = 2.9\ \text{а.е.} \qquad (72)

В формуле (56) $R_T$ – радиус тора. Очевидно, его можно представить в виде:

R_T = \frac{r_{\max} - r_{\min}}{2} = 0.7\ \text{а.е.}

В итоге, объем пояса равен $V = 28$ а.е. $^3$ , а концентрация $n = 1.597\cdot 10^{-20}$ км $^{-3}$

Следовательно, среднее расстояние между астероидами в поясе равно

\ell = \frac{1}{\sqrt[3]{n}} = 3.97\cdot 10^6\ \text{км}.

Последняя величина много больше расстояния между компонентами в двойной системе астероидов. Следовательно, гравитационное влияние соседних астероидов на данные пары пренебрежительно мало и им можно смело пренебречь.

Ответ: к задаче представлен выражениями (59), (66). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Справочные данные: A.1–A.3

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} {\cdot} \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} {\cdot} \text{К}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} {\cdot} \text{с}^{-3} {\cdot} \text{К}^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк = 206265 а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} {\cdot} \text{с}^{-1} {\cdot} \text{Мпк}^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^\circ\,26'\,21.45''$

Справочные данные: A.3 (продолжение)–A.5

Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г $\cdot$ см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^\circ 09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г $\cdot$ см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\ \cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\ \sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Справочные данные: A.6–A.7

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^\dagger$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^\dagger$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^\dagger$ – обратное вращение.

Справочные данные: A.8

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^\dagger$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^\dagger$ – обратное вращение.

Справочные данные: A.9

A.9. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике и график для уравнения времени

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. A.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

Рис. А.3

Рис. А.3. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2018-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2018-1]_10-11 classes.pdf