Самара 2018, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. Юпитер над горизонтом

• $\delta = 20.927^\circ \pm 0.708^\circ$; $t_\mathrm{ris} = 238.44^\circ$, $t_\mathrm{dec} = 121.56^\circ$, $A_\mathrm{ris} = 232.74^\circ$, $A_\mathrm{dec} = 127.26^\circ$; $T_\mathrm{ris} = 18.933$ ч, $T_\mathrm{dec} = 11.096$ ч, $T_\mathrm{cul} = 3.015$ ч (UT), $\Delta T_\mathrm{vis} = 16.164$ ч.

Решение. 1. Рассмотрим сферический треугольник, у которого вершинами являются: зенит места наблюдения, полюс мира и светило (см. рис. 12). Такой треугольник называется параллактическим треугольником.

В параллактическом треугольнике одна сторона – дуга небесного меридиана между полюсом $P_n$ и зенитом $Z$ – равна $90^\circ - \varphi$, где $\varphi$ – широта места наблюдения. Другая сторона – полярное расстояние светила $C$ равна $90^\circ{-}\delta$, и третья равна зенитному расстоянию светила $z$. Если светило находится к западу от небесного меридиана, то угол при полюсе есть часовой угол светила $t$, угол при зените – $180^\circ - A$.

Если светило находится к востоку от небесного меридиана, то угол при полюсе будет $360^\circ{-}t$, а угол при зените – $A{-}180^\circ$. Угол $q$ при светиле называется параллактическим углом. Воспользуемся формулами синусов, косинусов и формулой пяти элементов для данного треугольника. Запишем их для экваториальных и горизонтальных координат светила:

Эти формулы связывают горизонтальную систему координат с первой экваториальной. Т.о, при известной широте места наблюдения, зная часовой угол и склонение светила, можно вычислить его зенитное расстояние и азимут. Точно так же, по известному зенитному расстоянию и азимуту светила, можно вычислить его часовой угол и склонение:

Для определения значения $t$ воспользуемся формулой (97.b):

Очевидно, уравнению (99) будут отвечать два корня $t_1$, $t_2$, удовлетворяющие условиям:

Действительно, любой точке небесной параллели данного тела соответствует зеркально симметричная точка, относительно небесного меридиана, в которой высота светила будет такой же, что и в исходной точке. Для определения истинного значения $t$, для данной точки наблюдения, необходимо пронаблюдать данный объект, как минимум, еще в одной близкой точке, в последующий момент времени. Предположим, что в момент времени $T_0$ выполнено измерение высоты $h_0$ светила, в последующий близкий момент времени $T > T_0$ ($T - T_0 \ll T_\oplus$) выполнено измерение высоты и получено значение $h$. Если $h_0 < h$, то очевидно что светило является восходящим, располагается слева от небесного меридиана (если смотреть на точку юга) и $t = t_2$. В противном случае, светило – заходящее, находится справа от небесного меридиана и $t = t_1$.

Отметим, что формула (99) имеет свои границы применимости. Данная формула не применима для определения часового угла небесного тела, находящегося в одном из полюсов мира $P_n$ или $P_s$ ($\delta = \pm 90^\circ$). Действительно, если небесное тело в одной из этих точек небесной сферы, то оно остается неподвижным при суточном вращении небесной сферы и ему можно приписать любое значение $t$. Формула (99) также неприменима в случае, когда наблюдатель находится на одном из географических полюсов ($\varphi = \pm 90^\circ$). В данной ситуации любая точка математического горизонта является точкой юга, если наблюдатель находится на северном (южном) полюсе мира. Тогда часовой угол вновь может быть любым.

Зная высоту светила и его склонение, можно однозначно определить азимут светила с использованием выражения (98.c):

2. Исправим результаты (99), (100) за рефракцию света, посредством переопределения высот небесного тела:

в указанных формулах, с использованием формулы Лапласа (1), в результате получим

3. Определим склонение светила. Пусть небесное тело в момент времени $t_1$ находится в точке $C_1$, с известными горизонтальными координатами $(h_1, A_1)$, а в момент времени $t_2$ (причем $t_2 - t_1 \ll T_\oplus$) объект окажется в точке $C_2$, с координатами – $(h_2, A_2)$. Воспользуемся выражением (98.c), для каждой пары горизонтальных координат можем записать

откуда

На эксперименте проводится измерение горизонтальных координат с помощью угломерных приборов, например, теодолита. С помощью таких инструментов достаточно легко добиться корректного измерения высоты светила (необходимо лишь отъюстировать вертикальную ось симметрии прибора с помощью уровней, вдоль отвесной линии). Гораздо более трудной задачей является точное определение положения точки юга, от которой ведется отсчет азимута светила. Однако, эту трудность можно избежать, если проводить измерения горизонтальных координат светила через малые промежутки времени (3-5 мин), когда светило, очевидно, находится в одной из четвертей возможных значений $A$. В этом случае можно ограничиться определением изменения азимута $\Delta A = A_2 - A_1 > 0$. Тогда,

из (106) с учетом (104) следует, что

Последнее уравнение можно представить в виде

Решение этого уравнения представляется в виде:

Оба корня уравнения могут быть физическими. Однако, первый корень отвечает положению тела с $\delta < \varphi$, т.е. такой объект должен кульминировать к югу от зенита, а второй корень – положению тела с $\delta > \varphi$, т.е. данный объект должен кульминировать к северу от зенита. Для однозначного определения истинного значения склонения небесного тела достаточно лишь один раз пронаблюдать его движение в окрестности меридиана и оценить положение его точки кульминации по отношению к точке зенита. Согласно оценке выбрать соответствующий корень системы решений (111).

В таблице 2 представлены значения искомых параметров для Юпитера на 22 августа 2000 г. Итоговые результаты исправлены за рефракцию света. Истинному значению склонения Юпитера отвечает решение $\delta_-$. В 5-ой и 7-ой колонках таблицы представлены ошибки определения склонения $\delta$ планеты, вычисленные согласно формуле схемы обработки косвенных измерений:

где $\delta_i$ – i-ое значение склонения планеты, $n$ – количество полученных значений искомой величины (в данном случае $n = 17$), $t_n = 2.120$ – коэффициент Стьюдента для $n = 17$.

Таблица 2: Значения данных наблюдений Юпитера от 22.08.2000 г. и значения $\delta_\mp$ и $\Delta\delta_\mp$, вычисленные согласно (111) и (112).

Важно отметить, что нефизическое решение $\delta_+$ обладает значительной "нестабильностью" и наблюдается устойчивая тенденция роста значения корня с увеличением высоты Юпитера над горизонтом.

4.-7. В точках восхода и захода видимая высота светила $h = 0^\circ$. Следовательно, с использованием формулы (102) часовые углы восхода ($t_\mathrm{ris}$) и захода ($t_\mathrm{dec}$) представляются в виде:

Здесь и далее учтено, что поправка за рефракцию для $h = 0^\circ$ составляет $\delta h = 35'$. Аналогично можно определить азимуты точек восхода и захода светила:

Для определения моментов времени восхода и захода небесного объекта воспользуемся тем фактом, что его часовой угол равномерно изменяется со временем. Предположим, что в момент времени $T_0$ выполнено измерение высоты $h_0$ светила и определен его часовой угол ($t_0$), тогда моменты времени восхода ($T_\mathrm{ris}$) и захода ($T_\mathrm{dec}$) светила есть

Следовательно, период видимости объекта над горизонтом можно определить как

а момент верхней кульминации можно представить в виде:

Таблица 3: Часовые углы и азимуты точек восхода и захода Юпитера на 22.08.2018.

Примечания: $^\dagger$ – данные времена относятся к 23.08.2000 г. по всемирному времени (UT).

Таблица 4: Значения моментов времени восхода, захода, кульминации и периода видимости Юпитера на 22.08.2000 г. по всемирному времени (UT), а также их ошибки определения.

В таблице 3 приведены итоговые результаты для часовых углов и азимутов точек восхода и захода Юпитера на указанную дату наблюдений. В таблице 4 представлены результаты вычислений моментов восхода, захода, верхней кульминации и периода видимости Юпитера над горизонтом, на ту же дату. Здесь же представлены статистические ошибки определения данных величин (получены по схеме обработки косвенных измерений). ($\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).