Самара 2018, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 14. «Летоисчисление на Луне и високосные годы»

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1 · 12 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2018

Памятка участника SamRAS-2018

  1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/

  2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp

  3. Сроки подачи работ SamRAS-2018 тура № 1 на проверку: 15.10.2017-15.01.2018!!!

  4. Электронный ящик SamRAS-2018: samrasolimp@mail.ru

  5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! (перед условиями задач)

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2018, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Автор задач и ссылка на решения

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Условие

Предложите модель календаря для гипотетического жителя Луны, структура которого будет подобна земному юлианскому календарю при этом ошибка календаря не должна быть больше юлианского. Сколько должно быть суток в одном невисокосном и високосном году? Сколько в таком календаре должно быть високосных лет в одно тысячелетие? (12 баллов).

Решение

Справочные данные: A.1–A.3

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

  • Гравитационная постоянная – G=6.674⋅10−11 м3⋅кг−1⋅c−2G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}
  • Скорость света в вакууме – c=2.998⋅108c = 2.998 \cdot 10^8 м/с
  • Универсальная газовая постоянная – R=8.31 кг⋅м2⋅с−2⋅К−1⋅моль−1R = 8.31\ \text{кг} {\cdot} \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} {\cdot} \text{К}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}
  • Постоянная Стефана-Больцмана – σ=5.67⋅10−8 кг⋅с−3⋅К−4\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} {\cdot} \text{с}^{-3} {\cdot} \text{К}^{-4}
  • Постоянная Авогадро – NA=6.022⋅1023 моль−1N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}
  • Масса протона – mp=1.67⋅10−27m_p = 1.67 \cdot 10^{-27} кг
  • Масса электрона – me=9.11⋅10−31m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} кг
  • Астрономическая единица – 1 а.е. =1.496⋅1011= 1.496 \cdot 10^{11} м
  • Парсек – 1 пк = 206265 а.е. =3.086⋅1016= 3.086 \cdot 10^{16} м
  • Постоянная Хаббла – H=72 км⋅с−1⋅Мпк−1H = 72\ \text{км} {\cdot} \text{с}^{-1} {\cdot} \text{Мпк}^{-1}

A.2. Данные о Солнце

  • Радиус – 6.955⋅1056.955 \cdot 10^5 км
  • Масса – 1.989⋅10301.989 \cdot 10^{30} кг
  • Светимость – 3.827⋅10263.827 \cdot 10^{26} Вт
  • Спектральный класс – G2
  • Видимая звездная величина – −26.74m-26.74^m
  • Абсолютная болометрическая звездная величина – +4.83m+4.83^m
  • Показатель цвета (B-V) – +0.67m+0.67^m
  • Эффективная температура – 5778 K
  • Средний горизонтальный параллакс – 8.794′′8.794''
  • Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м2^2
  • Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м2^2

A.3. Данные о Земле

  • Эксцентриситет орбиты – 0.017
  • Тропический год – 365.24219 сут
  • Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
  • Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
  • Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – 23∘ 26′ 21.45′′23^\circ\,26'\,21.45''
Справочные данные: A.3 (продолжение)–A.5
  • Средний по объему радиус – 6371.0 км
  • Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
  • Длина земного меридиана – 20004.276 км
  • Полярный радиус – 6356.77 км
  • Масса – 5.974⋅10245.974 \cdot 10^{24} кг
  • Средняя плотность – 5.52 г⋅\cdotсм−3^{-3}
  • Объемный состав атмосферы – N2_2 (78%), O2_2 (21%), Ar (∼\sim 1%)

A.4. Данные о Луне

  • Среднее расстояние от Земли – 384400 км
  • Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
  • Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
  • Эксцентриситет орбиты – 0.055
  • Наклон плоскости орбиты к эклиптике – 5∘09′5^\circ 09'
  • Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
  • Синодический период обращения – 29.530589 сут
  • Радиус – 1738 км
  • Масса – 7.348⋅10227.348 \cdot 10^{22} кг или 1/81.3 массы Земли
  • Средняя плотность – 3.34 г⋅\cdotсм−3^{-3}
  • Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
  • Видимая звездная величина в полнолуние −12.7m-12.7^m

A.5. Формулы приближенного вычисления

sin⁡x≈tg x≈x;sin⁡(x±α)≈sin⁡α±x cos⁡α;cos⁡(x±α)≈cos⁡α∓x sin⁡α;tg(x±α)≈tg α±xcos⁡2α;(1+x)n≈1+n x;\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\ \cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\ \sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{aligned}

здесь x≪1x \ll 1, все углы выражаются в радианах.

Справочные данные: A.6–A.7

A.6. Характеристики орбит планет

ПланетаБольшая полуось, млн. кмБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетНаклон к плоскости эклиптики, градусыПериод обращенияСинодический период, сут
Меркурий57.90.38710.20567.00487.97 сут115.9
Венера108.20.72330.00683.394224.70 сут583.9
Земля149.61.00000.01670.000365.26 сут–
Марс227.91.52370.09341.850686.98 сут780.0
Юпитер778.35.20280.04831.30811.862 лет398.9
Сатурн1429.49.53880.05602.48829.458 лет378.1
Уран2871.019.19140.04610.77484.01 лет369.7
Нептун4504.330.06110.00971.774164.79 лет367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

ПланетаМасса, кгМасса, массы ЗемлиРадиус, кмРадиус, радиусы ЗемлиПлотность, г·см−3^{-3}Период вращения вокруг осиНаклон экватора к плоскости орбиты, градусыГеометрич. альбедоВид. звездная величина∗^*
Солнце1.989⋅10301.989{\cdot}10^{30}332946695500108.971.4125.380 сут7.25–−26.8m-26.8^m
Меркурий3.302⋅10233.302 \cdot 10^{23}0.052712439.70.38255.4258.646 сут0.000.10−0.1-0.1
Венера4.869⋅10244.869 \cdot 10^{24}0.814766051.80.94885.20243.019 сут†^\dagger177.360.65−4.4m-4.4^m
Земля5.974⋅10245.974 \cdot 10^{24}1.000006378.11.00005.5223.934 час23.450.37–
Марс6.419⋅10236.419 \cdot 10^{23}0.107453397.20.53263.9324.623 час25.190.15−2.0m-2.0^m
Юпитер1.899⋅10271.899 \cdot 10^{27}317.947149211.2091.339.924 час3.130.52−2.7m-2.7^m
Сатурн5.685⋅10265.685 \cdot 10^{26}95.181602689.44940.6910.656 час25.330.470.4m0.4^m
Уран8.683⋅10258.683 \cdot 10^{25}14.535255594.00731.3217.24 час†^\dagger97.860.515.7m5.7^m
Нептун1.024⋅10261.024 \cdot 10^{26}17.135247463.87991.6416.11 час28.310.417.8m7.8^m

∗^* для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

†^\dagger – обратное вращение.

Справочные данные: A.8

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

СпутникМасса, кгРадиус, кмПлотность, г·см−3^{-3}Радиус орбиты, кмПериод обращения, сутГеометрич. альбедоВид. звездная величина∗^*
Земля
Луна7.348⋅10227.348 \cdot 10^{22}17383.3438440027.321660.12−12.7-12.7
Марс
Фобос1.08⋅10161.08 \cdot 10^{16}∼10\sim 102.093800.319100.0611.3
Деймос1.8⋅10151.8 \cdot 10^{15}∼6\sim 61.7234601.262440.0712.4
Юпитер
Ио8.94⋅10228.94 \cdot 10^{22}18153.554218001.7691380.615.0
Европа4.8⋅10224.8 \cdot 10^{22}15693.016711003.5511810.645.3
Ганимед1.48⋅10231.48 \cdot 10^{23}26311.9410704007.1545530.424.6
Каллисто1.08⋅10231.08 \cdot 10^{23}24001.86188280016.689020.205.7
Сатурн
Тефия7.55⋅10207.55 \cdot 10^{20}5301.212946601.8878020.910.2
Диона1.05⋅10211.05 \cdot 10^{21}5601.433774002.7369150.710.4
Рея2.49⋅10212.49 \cdot 10^{21}7651.335270404.5175000.79.7
Титан1.35⋅10231.35 \cdot 10^{23}25751.88122185015.945420.218.2
Япет1.88⋅10211.88 \cdot 10^{21}7301.21356080079.330180.20∼11.0\sim 11.0
Уран
Миранда6.33⋅10196.33 \cdot 10^{19}235.81.151299001.4134790.2716.3
Ариэль1.7⋅10211.7 \cdot 10^{21}578.91.561909002.5203790.3414.2
Умбриэль1.27⋅10211.27 \cdot 10^{21}584.71.522660004.1441770.1814.8
Титания3.49⋅10213.49 \cdot 10^{21}788.91.704363008.7058720.2713.7
Оберон3.03⋅10213.03 \cdot 10^{21}761.41.6458350013.463240.2413.9
Нептун
Тритон2.14⋅10222.14 \cdot 10^{22}13502.073548005.87685†^\dagger0.713.5

∗^* – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

†^\dagger – обратное вращение.

Справочные данные: A.9

A.9. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки ΔMb\Delta M_b

СпектрΔMb\Delta M_bСпектрΔMb\Delta M_b: Гл. последовательностьΔMb\Delta M_b: ГигантыΔMb\Delta M_b: Сверхгиганты
B0– 2.70F5– 0.04– 0.08– 0.12
B5– 1.58F8– 0.05– 0.17– 0.28
A0– 0.72G0– 0.06– 0.25– 0.42
A5– 0.31G2– 0.07– 0.31– 0.52
F0– 0.09G5– 0.10– 0.39– 0.65
F2– 0.04G8– 0.10– 0.47– 0.80
K0– 0.11– 0.54– 0.93
K2– 0.15– 0.72– 1.20
K3– 0.31– 0.89– 1.35
K4– 0.55– 1.11– 1.56
K5– 0.85– 1.35– 1.86
M0– 1.43– 1.55– 2.2
M1– 1.70– 1.72– 2.6
M2– 2.03– 1.95– 3.0
M3– 2.35– 2.26– 3.6
M4– 2.7– 2.72– 3.8
M5– 3.1– 3.4– 4.0
Рис. А.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Годовое движение Солнца по13созвездиям эклиптики: даты границ и число дней, Земля на орбите.

Рис. А.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. А.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

Графики уравнения времени, уравнения центра и наклона эклиптики; месяцы и даты, вертикальная ось η в минутах.

Рис. А.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

Месяц: Янв. Фев. Март Апр. Май Июнь Июль Авг. Сент. Окт. Нояб. Дек. Дата: 1, 16, 31, 15, 2, 17, 1, 16, 1, 16, 31, 15, 30, 15, 30, 14, 29, 13, 28, 13, 28, 12, 27, 12, 27. Вертикальная ось: η\eta, мин.

Рис. А.3. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела.

Диаграмма абсолютной звездной величины Mv от спектрального класса O5–M5 с классами светимости Ia-0,Ia,Iab,Ib,II,III,IV,V,VI,VII.

Рис. А.3. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2018-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2018-1]_8-9 classes.pdf