Съдържание

Самара 2018, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. «Кривая лучевых скоростей и масса экзопланеты»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2018

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1 · 15 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2018

Памятка участника SamRAS-2018

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2018 тура № 1 на проверку: 15.10.2017-15.01.2018!!!
Электронный ящик SamRAS-2018: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! (перед условиями задач)

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2018, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Автор задач и ссылка на решения

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Условие

График лучевой скорости $V_r$, м/с (ось от −100 до 100) от времени t, сут (деления 0.3, 0.9, 1.5, 2.1, 2.7, 3.3, 3.9, 4.5, 5.1, 5.7, 6.3): точки измерений с погрешностями и проведенная через них синусоида с амплитудой около 57 м/с; горизонтальная пунктирная линия на уровне 0. — Рис. 4: кривая лучевых скоростей 51 Пегаса (источник: https://web.pa.msu.edu/courses/2011spring/AST208/mayorQueloz.pdf).

Как известно, в 1995 году швейцарскими астрофизиками М. Мейором и Д. Квелоцем с использованием метода радиальных скоростей была открыта первая экзопланета, обращающаяся вокруг звезды 51 Пегаса. Масса этой звезды равна массе Солнца. На графике (см. рис. 4) приведена зависимость гелиоцентрической лучевой скорости этой звезды от времени. Оцените по этому графику массу экзопланеты, считая, что луч зрения лежит в плоскости ее орбиты. (15 баллов).

Решение

Решение: Прежде всего, по кривой лучевых скоростей (см. рис. 4) можно легко определить период ( $T$ ) обращения звезды (и ее планеты) вокруг общего центра масс. Из рисунка очевидно, что $T=4.2$ сут. Из того же рисунка можно определить амплитудное значение лучевой скорости звезды – $V_{\max}=60$ м/с.

Согласно условию задачи, луч зрения лежит в плоскости орбиты звезды, а следовательно, и всей системы. Следовательно, полученная величина совпадает с полной скоростью звезды. Характер изменения лучевой скорости – синусоидальный, следовательно, формы орбит звезды и планеты должны быть близкими к круговым, а следовательно их скорости должны оставаться постоянными. Вычислим радиус ( $R_*$ ) орбиты звезды:

R_*=\frac{V_{\max}T}{2\pi}=3465\ \text{км}.\qquad (50)

Пусть $\mathfrak{M}_*,\mathfrak{M}_p$ – массы звезды и планеты соответственно. Определим радиус орбиты относительного движения планеты (относительно центрального тела):

R'_* = R_*+R_p=R_*\left(1+\frac{\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{M}_p}\right).\qquad (51)

При записи последнего результата было учтено, что из определения радиуса-вектора центра масс данной системы следует соотношение вида:

\mathfrak{M}_*R_*=\mathfrak{M}_pR_p,\quad\Rightarrow\quad\frac{R_*}{R_p}=\frac{\mathfrak{M}_p}{\mathfrak{M}_*}.\qquad (52)

Далее воспользуемся третьим обобщенным законом Кеплера для данной пары тел:

G(\mathfrak{M}_*+\mathfrak{M}_p)T^2=4\pi^2R'_*{}^3,\quad\Rightarrow\quad GT^2=4\pi^2R_*^3\frac{(\mathfrak{M}_*+\mathfrak{M}_p)^2}{\mathfrak{M}_p^3},\quad\Rightarrow

\begin{aligned}\mathfrak{M}_p&=\left(\frac{4\pi^2R_*^3}{GT^2}(\mathfrak{M}_*+\mathfrak{M}_p)^2\right)^{1/3}\\&\approx\left(\frac{4\pi^2R_*^3}{GT^2}\mathfrak{M}_*^2\right)^{1/3}=\left(\frac{V_{\max}^2\mathfrak{M}_*^2R_*}{G}\right)^{1/3}.\end{aligned}\qquad (53)

Расчет искомой величины по формуле (53) дает значение $\mathfrak{M}_p=9.0\cdot10^{26}$ кг $\approx0.5\mathfrak{M}_J$ , где $\mathfrak{M}_J$ – масса Юпитера.

Ответ: $\mathfrak{M}_p=9.0\cdot10^{26}$ кг $\approx0.5\mathfrak{M}_J$ , где $\mathfrak{M}_J$ – масса Юпитера. ( $\text{\textdollar}_{\max}=15$ баллов).

Справочные данные: A.1–A.3

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} {\cdot} \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} {\cdot} \text{К}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} {\cdot} \text{с}^{-3} {\cdot} \text{К}^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк = 206265 а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} {\cdot} \text{с}^{-1} {\cdot} \text{Мпк}^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^\circ\,26'\,21.45''$

Справочные данные: A.3 (продолжение)–A.5

Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г $\cdot$ см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^\circ 09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г $\cdot$ см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\ \cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\ \sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Справочные данные: A.6–A.7

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^\dagger$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^\dagger$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^\dagger$ – обратное вращение.

Справочные данные: A.8

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^\dagger$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^\dagger$ – обратное вращение.

Справочные данные: A.9

A.9. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Рис. А.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Годовое движение Солнца по13созвездиям эклиптики: даты границ и число дней, Земля на орбите.

Рис. А.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. А.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

Графики уравнения времени, уравнения центра и наклона эклиптики; месяцы и даты, вертикальная ось η в минутах.

Месяц: Янв. Фев. Март Апр. Май Июнь Июль Авг. Сент. Окт. Нояб. Дек. Дата: 1, 16, 31, 15, 2, 17, 1, 16, 1, 16, 31, 15, 30, 15, 30, 14, 29, 13, 28, 13, 28, 12, 27, 12, 27. Вертикальная ось: $\eta$ , мин.

Рис. А.3. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела.

Диаграмма абсолютной звездной величины Mv от спектрального класса O5–M5 с классами светимости Ia-0,Ia,Iab,Ib,II,III,IV,V,VI,VII.

Рис. А.3. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2018-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2018-1]_8-9 classes.pdf