Съдържание

Самара 2018, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 9. Зеркальный шар и зеркало для телескопа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2018

SAMRAS-2018 — тур №2, 10–11 классы · 8 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивные оригиналы содержат 18 самостоятельно пронумерованных задач трех уровней с полным соответствующим авторским ключом; каждый связанный набор пунктов сохранен в одной целой задаче. Общая длительность и сумма баллов не напечатаны и не выдуманы. Все 67 физических страниц обоих оригиналов прочитаны, включая повтор условий, обложки и повтор справочного приложения. Полное восьмистраничное приложение представлено исходными научными изображениями; повтор в ключе сохранен в полном оригинальном PDF. Декоративные изображения обложки и разделителей не научные диаграммы.

Печатные расхождения и ошибки оригинала:

В памятке условий указано 15.02.2018–15.05.2018, а в памятке ключа —15.02.2017–15.05.2018. Обе печатные даты сохранены с атрибуцией.

В ключе задачи 2 дробь для поворота линии узлов напечатана 36°/18.6·0.5≈10°, с36°, а не 360°. Исходная запись сохранена.

Ответ задачи 5 содержит неразрешенную ссылку(??), затем(13)и(14); формула Погсона в исходнике не имеет номера, а(14)начинает задачу 6. Номер не исправлен.

Задача 8 печатает коэффициент теплоотдачи 30 Вт/(м²·K), в таблице дано ключа —30 Вт/(м²·К⁴). Ключ добавляет 20°C и трактует 450° как 450°C; в формуле(28)знаменатель sinα, хотя высота обозначенаh. Его освещенности 942 и847 Вт/м² и итог 0.09≈0.1 сохранены без исправления арифметики.

В условии задачи 10 выражение «гелио- и геоцентрическое расстояния кометы от Земли» сохранено буквально.

В условии задачи 13 для Кирова повторно напечатаны φS/λS; в ключе ониφK/λK. В формуле(64)ключа встречаются hC иhk; обе исходные записи сохранены. Перед(66)обе звездные величины обозначены mmax. Формула(67)явно печатает Pmax=18.35 мВт иPmin=18.35 кВт; это сохранено как ошибка единицы максимума.

В ключе 14 перед (71)напечатаноβ1=ℓ0/L,β2=ℓ/L, затем (71)дает β1/β2=ℓ/ℓ0. Противоречие обозначений не устранено.

В условии 15 уМ 32/М110 повторяются δ0, а у массыМ 32 —M0. Таблица дано ключа дает δ1,δ2,M1; оба исходных варианта сохранены. Формула(78)печатает Δi,j без квадрата слева от выражения для квадрата расстояния; формула(84)повторяетai на обеих сторонах. В «Найти» напечатаноR2min, а в методе и таблице — максимально возможный радиус.

В отдельном условии 18 пункт 3 ссылается на(3); в повторе условий внутри ключаК 8 — на(115). Ключ(115)сохраняет неравенство для подписанногоθ1^(2) без модуля. Это исходные варианты, не новые исправленные решения.

Исходная обложка и уровни

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2018 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10–11 КЛАССОВ. ТУР № 2. Самара,2018 г.

А. Уровень «Новичок»: задачи 1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи 7–12.

C. Уровень «Профи»: задачи 13–18.

Полные исходные указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B)

и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2018

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2018 тура № 2 на проверку : 15.02.2018-15.05.2018!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2018: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Указание перед задачами (У4):

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2018, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Полные выходные данные и памятка авторского ключа (К2):

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2018

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2018 тура № 2 на проверку : 15.02.2017-15.05.2018!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2018: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Полные исходные справочные данные А.1–А.10

Полная исходная научная страница справочного приложения 11 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 12 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 13 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 14 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 15 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 16 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 17 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 18 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Условие

Школьнику подарили зеркальный шар (сферу с внутренней зеркальной поверхностью) с радиусом $R = 30$ см. Мечтая создать свой самодельный телескоп, он решил использовать этот шар для создания объектива. Какого вида оптический телескоп он задумал сделать? Полагая, что школьник планирует использовать также плоское зеркало, оцените максимальный допустимый диаметр объектива такого самодельного телескопа. Какая часть поверхности исходного шара будет при этом задействована? Оцените максимальную длину трубы такого телескопа. Окуляр с каким фокусным расстоянием следует использовать школьнику, чтобы он смог получить на данном телескопе увеличение, равное 10 крат? (8 баллов).

Решение

Дано и найти (исходный ключ):

$R=30\text{ см},\ \Gamma=10^x.\quad\text{Найти: вид тел-па, }D_{\max},\eta,L_{\max},f_\text{ок}.$

Поскольку, школьник планирует создать объектив из

зеркального шара, то, очевидно, объектив будет сферическим зеркалом небольших размеров. Следовательно, телескоп будет рефлектором. Поскольку, он планирует использовать плоское вторичное зеркало, то это будет рефлектор Ньютона. 2. Как известно, лишь параболическое зеркало собирает лучи, пришедшие из безконечности, параллельно его главной оптической оси, в одной точке – фокусе. Найдем $D_{max}$ – максимально допустимый диаметр сферического зеркала, при котором его можно считать параболическим. Рассмотрим профиль шара в его главной секущей плоскости – окружность, уравнение которой можно представить в системе координат $OXY$ (см. рис. 4) в виде:

x^2+y^2=R^2.

Перейдем в систему координат $O^{\prime} X^{\prime} Y ^{\prime}$ , здесь уравнение той же окружности представляется в виде:

x'^2+(y'-R)^2=R^2,\Rightarrow x'^2+y'^2-2y'R=0.\qquad (33)

Полный исходный научный рисунок4, включая все подписи и исходную подпись, страница19.

Чтобы последнее уравнение можно было редуцировать к уравнению параболы в той же системе координат типа

y=\frac1{4f}x^2,\qquad (34)

где $f$ – фокусное расстояние параболы, необходимо потребовать, чтобы

y'^2\ll x'^2,\ 2y'R

откуда следует, в частности

\frac{y'}{2R}\ll1.\qquad (35)

Согласно последнему условию, уравнение (33)
можно переписать в виде:

y'=\frac1{2R}x'^2.\qquad (36)

Из сопоставления (34) и (36) следует, что

f=\frac R2=15\text{ см.}\qquad (37)

Как известно, самые светосильные рефлекторы Ньютона со сферическим зеркалом имеют относительное отверстие $\frac Df \le 1/5$ . Следовательно,

D_{\max}=\frac f5=\frac R{10}=30\text{ мм.}\qquad (38)

Проверим выполнение условия (35). Согласно (36),

y'_{\max}=\frac1{2R}\left(\frac{D_{\max}}2\right)^2=\frac{D_{\max}^2}{8R}=\frac{R^2}{100\cdot8R}=\frac R{800},\Rightarrow\frac{y'_{\max}}{2R}=\frac1{1600}\ll1.

Очевидно, условие (35) выполняются. Следовательно, $D_{max}$ =30 мм является допустимым максимальным диаметром объектива. 3. Для определения части поверхности шара воспользуемся малостью отношения $D_{max}/R$ . Следовательно, площадь шарового сектора с диаметром основания $D_{max}$ будет приблизительно равна площади круга такого же диаметра. Тогда,

\eta=\frac{\pi(D_{\max}/2)^2}{4\pi R^2}=\frac1{1600}.\qquad (39)

Длина трубы Ньютона определяется фокусным расстоянием $f$ главного зеркала диаметром трубы, который не может быть меньше диаметра зеркала
$(D_{max})$ и выносом фокуса $(\ell )$ – расстояние от фокуса главного зеркала (расположенного вне трубы) до поверхности трубы. Причем, согласно рис. 5

L=f-\frac{D_{\max}}2-\ell.\qquad (40)

При $\ell = 0$ имеем

L_{\max}=f-\frac{D_{\max}}2=135\text{ мм.}\qquad (41)

Полный исходный научный рисунок5, включая все подписи и исходную подпись, страница20.

Чтобы телескоп давал увеличение $\Gamma$ , необходимо использовать окуляр с фокусным расстоянием

f_\text{ок}=\frac f\Gamma=15\text{ мм.}\qquad (42)

Данный окуляр является достаточно распространенным элементом для телескопа.
Ответ:
ответ к задаче представлен выражениями (38), (39), (41), (42), телескоп-рефлектор Ньютона. (8 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2018-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2018-2]_10-11 classes.pdf