Самара 2019, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 10. «Зависимость силы притяжения от расстояния между телами»

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1 · 8 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень A), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Памятка участника SamRAS-2019

  1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
  2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
  3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура № 1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
  4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
  5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934
Дорогие Друзья! (перед решением задач)

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

Еще до открытия И. Ньютоном своего закона всемирного тяготения, некоторые его современники (например, Роберт Гук) уже догадывались, что сила притяжения двух точечных массивных тел должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния (rr) между этими телами:

Fпр∼1r2.(1)F_{\text{пр}} \sim \frac{1}{r^2}. \qquad (1)

Гук первым смог обосновать строго математически зависимость (1), с использованием лишь основных результатов кинематики и третьего закона Кеплера, известных уже в то время (и известных Вам). Докажите (подобно Р. Гуку), что сила притяжения должна удовлетворять зависимости (1). (8 баллов).

Отговори

Решение

A.1. Основные физические и астрономические постоянные
  • Гравитационная постоянная – G=6.674⋅10−11G = 6.674 \cdot 10^{-11} м3^3· кг−1^{-1} ⋅ c−2\cdot\ c^{-2}
  • Скорость света в вакууме – c=2.998⋅108c = 2.998 \cdot 10^8 м/c
  • Универсальная газовая постоянная – R=8.31R = 8.31 кг·м2^2· c−2^{-2}·K−1^{-1}· моль−1^{-1}
  • Постоянная Стефана-Больцмана – σ=5.67⋅10−8\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} кг·с−3^{-3}·K−4^{-4}
  • Постоянная Авогадро – NA=6.022⋅1023N_A = 6.022 \cdot 10^{23} моль−1^{-1}
  • Масса протона – mp=1.67⋅10−27m_p = 1.67 \cdot 10^{-27} кг
  • Масса электрона – me=9.11⋅10−31m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} кг
  • Астрономическая единица – 1 а.е. =1.496⋅1011= 1.496 \cdot 10^{11} м
  • Парсек – 1 пк =206265= 206265 а.е. =3.086⋅1016= 3.086 \cdot 10^{16} м
  • Постоянная Хаббла – H=72H = 72 км·c−1^{-1}·Мпк−1^{-1}
A.2. Данные о Солнце
  • Радиус – 6.955⋅1056.955 \cdot 10^5 км
  • Масса – 1.989⋅10301.989 \cdot 10^{30} кг
  • Светимость – 3.827⋅10263.827 \cdot 10^{26} Вт
  • Спектральный класс – G2
  • Видимая звездная величина – −26.74m-26.74^m
  • Абсолютная болометрическая звездная величина – +4.83m+4.83^m
  • Показатель цвета (B-V) – +0.67m+0.67^m
  • Эффективная температура – 5778 K
  • Средний горизонтальный параллакс – 8.794′′8.794''
  • Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м2^2
  • Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м2^2
A.3. Данные о Земле
  • Эксцентриситет орбиты – 0.017
  • Тропический год – 365.24219 сут
  • Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
  • Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
  • Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – 23∘ 26′ 21.45′′23^{\circ}\,26'\,21.45''
  • Средний по объему радиус – 6371.0 км
  • Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
  • Длина земного меридиана – 20004.276 км
  • Полярный радиус – 6356.77 км
  • Масса – 5.974⋅10245.974 \cdot 10^{24} кг
  • Средняя плотность – 5.52 г·см−3^{-3}
  • Объемный состав атмосферы – N2_2 (78%), O2_2 (21%), Ar (∼\sim 1%)
A.4. Данные о Луне
  • Среднее расстояние от Земли – 384400 км
  • Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
  • Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
  • Эксцентриситет орбиты – 0.055
  • Наклон плоскости орбиты к эклиптике – 5∘09′5^{\circ}09'
  • Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
  • Синодический период обращения – 29.530589 сут
  • Радиус – 1738 км
  • Масса – 7.348⋅10227.348 \cdot 10^{22} кг или 1/81.3 массы Земли
  • Средняя плотность – 3.34 г·см−3^{-3}
  • Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
  • Видимая звездная величина в полнолуние −12.7m-12.7^m
A.5. Формулы приближенного вычисления
sin⁡x≈tg x≈x;\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;
sin⁡(x±α)≈sin⁡α±x cos⁡α;\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;
cos⁡(x±α)≈cos⁡α∓x sin⁡α;\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;
tg(x±α)≈tg α±xcos⁡2α;\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};
(1+x)n≈1+n x;(1 + x)^n \approx 1 + n\,x;

здесь x≪1x \ll 1, все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет
ПланетаБольшая полуосьЭксцентриситетНаклон к плоскости эклиптикиПериод обращенияСинодический период
млн. кма.е.градусысут
Меркурий57.90.38710.20567.00487.97 сут115.9
Венера108.20.72330.00683.394224.70 сут583.9
Земля149.61.00000.01670.000365.26 сут–
Марс227.91.52370.09341.850686.98 сут780.0
Юпитер778.35.20280.04831.30811.862 лет398.9
Сатурн1429.49.53880.05602.48829.458 лет378.1
Уран2871.019.19140.04610.77484.01 лет369.7
Нептун4504.330.06110.00971.774164.79 лет367.5
A.7. Физические характеристики Солнца и планет
ПланетаМассаРадиусПлотностьПериод вращения вокруг осиНаклон экватора к плоскости орбитыГеометрич. альбедоВид. звездная величина∗^*
кгмассы Земликмрадиусы Землиг·см−3^{-3}градусы
Солнце1.989⋅10301.989 \cdot 10^{30}332946695500108.971.4125.380 сут7.25–−26.8m-26.8^m
Меркурий3.302⋅10233.302 \cdot 10^{23}0.052712439.70.38255.4258.646 сут0.000.10−0.1-0.1
Венера4.869⋅10244.869 \cdot 10^{24}0.814766051.80.94885.20243.019 сут†^{\dagger}177.360.65−4.4m-4.4^m
Земля5.974⋅10245.974 \cdot 10^{24}1.000006378.11.00005.5223.934 час23.450.37–
Марс6.419⋅10236.419 \cdot 10^{23}0.107453397.20.53263.9324.623 час25.190.15−2.0m-2.0^m
Юпитер1.899⋅10271.899 \cdot 10^{27}317.947149211.2091.339.924 час3.130.52−2.7m-2.7^m
Сатурн5.685⋅10265.685 \cdot 10^{26}95.181602689.44940.6910.656 час25.330.470.4m0.4^m
Уран8.683⋅10258.683 \cdot 10^{25}14.535255594.00731.3217.24 час†^{\dagger}97.860.515.7m5.7^m
Нептун1.024⋅10261.024 \cdot 10^{26}17.135247463.87991.6416.11 час28.310.417.8m7.8^m

∗^* для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

†^{\dagger} – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет
СпутникМассаРадиусПлотностьРадиус орбитыПериод обращенияГеометрич. альбедоВид. звездная величина∗^*
кгкмг·см−3^{-3}кмсут
Земля
Луна7.348⋅10227.348 \cdot 10^{22}17383.3438440027.321660.12−12.7-12.7
Марс
Фобос1.08⋅10161.08 \cdot 10^{16}∼10\sim 102.093800.319100.0611.3
Деймос1.8⋅10151.8 \cdot 10^{15}∼6\sim 61.7234601.262440.0712.4
Юпитер
Ио8.94⋅10228.94 \cdot 10^{22}18153.554218001.7691380.615.0
Европа4.8⋅10224.8 \cdot 10^{22}15693.016711003.5511810.645.3
Ганимед1.48⋅10231.48 \cdot 10^{23}26311.9410704007.1545530.424.6
Каллисто1.08⋅10231.08 \cdot 10^{23}24001.86188280016.689020.205.7
Сатурн
Тефия7.55⋅10207.55 \cdot 10^{20}5301.212946601.8878020.910.2
Диона1.05⋅10211.05 \cdot 10^{21}5601.433774002.7369150.710.4
Рея2.49⋅10212.49 \cdot 10^{21}7651.335270404.5175000.79.7
Титан1.35⋅10231.35 \cdot 10^{23}25751.88122185015.945420.218.2
Япет1.88⋅10211.88 \cdot 10^{21}7301.21356080079.330180.20∼11.0\sim 11.0
Уран
Миранда6.33⋅10196.33 \cdot 10^{19}235.81.151299001.4134790.2716.3
Ариэль1.7⋅10211.7 \cdot 10^{21}578.91.561909002.5203790.3414.2
Умбриэль1.27⋅10211.27 \cdot 10^{21}584.71.522660004.1441770.1814.8
Титания3.49⋅10213.49 \cdot 10^{21}788.91.704363008.7058720.2713.7
Оберон3.03⋅10213.03 \cdot 10^{21}761.41.6458350013.463240.2413.9
Нептун
Тритон2.14⋅10222.14 \cdot 10^{22}13502.073548005.87685†^{\dagger}0.713.5

∗^* – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

†^{\dagger} – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике и график для уравнения времени

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. A.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки ΔMb\Delta M_b

СпектрΔMb\Delta M_bСпектрΔMb\Delta M_b: Гл. последовательностьΔMb\Delta M_b: ГигантыΔMb\Delta M_b: Сверхгиганты
B0– 2.70F5– 0.04– 0.08– 0.12
B5– 1.58F8– 0.05– 0.17– 0.28
A0– 0.72G0– 0.06– 0.25– 0.42
A5– 0.31G2– 0.07– 0.31– 0.52
F0– 0.09G5– 0.10– 0.39– 0.65
F2– 0.04G8– 0.10– 0.47– 0.80
K0– 0.11– 0.54– 0.93
K2– 0.15– 0.72– 1.20
K3– 0.31– 0.89– 1.35
K4– 0.55– 1.11– 1.56
K5– 0.85– 1.35– 1.86
M0– 1.43– 1.55– 2.2
M1– 1.70– 1.72– 2.6
M2– 2.03– 1.95– 3.0
M3– 2.35– 2.26– 3.6
M4– 2.7– 2.72– 3.8
M5– 3.1– 3.4– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-1]_8-9 classes.pdf