Съдържание

Самара 2019, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. «Колонизация Меркурия»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1 · 15 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень A), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура № 1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! (перед решением задач)

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

Одна из важных задач далекого будущего человечества – это колонизация Меркурия. Изобилие полезных ископаемых, близость к Солнцу, меньшая гравитация чем у Земли – это лишь несколько важных причин для его покорения. Однако, из-за отсутствия атмосферы, его близости к Солнцу, чтобы спасти колонию от мощной электромагнитной и корпускулярной солнечной радиации ее необходимо будет разместить на большой глубине в меркурианской коре. Для обеспечения передвижения в коре можно создать большой кольцевой туннель, охватывающий планету, и расположенный в экваториальной плоскости. В этом туннеле можно запускать грузовые капсулы, которые за счет гравитации планеты смогут сами перемещаться подобно искусственным спутникам. Моделируя Меркурий однородным шаром, вычислите

1. Ускорение свободного падения в теле планеты, как функцию глубины ( $h$ ) погружения капсулы относительно поверхности планеты;

2. Первую космическую скорость для грузовой капсулы, как функцию $h$ ;

3. Период обращения капсулы по туннелю, как функцию $h$ ;

4. Потенциальную энергию грузовой капсулы в теле планеты, как функцию $h$ , если полагать, что последняя стремится к нулю, при удалении от планеты на бесконечность;

5. Вторую космическую скорость для капсулы, стартующей на вылет из туннеля на глубине $h$ ;

6. Радиус орбиты искусственного спутника связи Меркурия, движущегося в экваториальной плоскости и расположенного все время над движущейся капсулой в туннеле, на глубине $h$ .

Отговори

Решение

Решение: 1. Определим зависимость ускорения свободного падения как функцию глубины $h$ . Для этого рассмотрим капсулу на расстоянии $\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h$ от центра Меркурия. Запишем равенства силы тяжести и силы притяжения капсулы планетой:

mg(h) = \frac{G\, m \mathfrak{M}_{\text{☿}}(h)}{(\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h)^2} \qquad (63)

здесь $g(h)$ – ускорение свободного падения на глубине $h$ , $G$ – универсальная гравитационная постоянная, $\mathfrak{R}_{\text{☿}}$ – радиус планеты, $\mathfrak{M}_{\text{☿}}$ – масса той части планеты которая находится внутри сферы радиуса $\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h$ , тогда

\mathfrak{M}_{\text{☿}}(h) = \rho_{\text{☿}} \cdot \frac{4\delta}{3} (\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h)^3 = \mathfrak{M}_{\text{☿}}^{(0)} \left(1 - \frac{h}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}}\right)^3. \qquad (64)

Из (63) и (64) следует, что

g(h) = \frac{G \mathfrak{M}_{\text{☿}}^{(0)}}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}^2} \cdot \left(1 - \frac{h}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}}\right) = g_0 \left(1 - \frac{h}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}}\right), \qquad (65)

здесь $\mathfrak{M}_{\text{☿}}^{(0)}$ – масса Меркурия $g_0$ – ускорение свободного падения у его поверхности.

2. Согласно определению, первой космической скоростью называется минимальная скорость капсулы, с которой последняя будет двигаться по круговой орбите радиуса $\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h$ , т.е.

m \frac{V^2}{(\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h)} = mg(h), \ \ \text{или} \ \ V_{\mathrm{I}}(h) = \sqrt{g_0 \mathfrak{R}_{\text{☿}} \left(1 - \frac{h}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}}\right)^2} \ \ \Rightarrow

V_{\mathrm{I}}(h) = V_{\mathrm{I}}^{(0)} \left(1 - \frac{h}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}}\right), \qquad (66)

здесь $V_{\mathrm{I}}^{(0)} = \sqrt{g_0 \mathfrak{R}_{\text{☿}}}$ – первая космическая скорость капсулы у поверхности планеты.

3. Период обращения капсулы определим выражением вида:

T = \frac{2\pi(\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h)}{V_{\mathrm{I}}(h)} = \frac{2\pi \mathfrak{R}_{\text{☿}}}{V_{\mathrm{I}}^{(0)}}, \qquad (67)

таким образом, период обращения не зависит от глубины $h$ и равен периоду обращения капсулы по круговой орбите у поверхности планеты.

4. Как известно, работа потенциальной силы равна изменению ее потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком:

A = -(U_p^{(f)} - U_p^{(i)}) = U_p^{(i)} - U_p^{(f)} = (U_p^{(i)} - U_p^{(s)}) + (U_p^{(s)} - U_p^{(f)}) \qquad (68)

здесь $U_p^{(i)}$ – потенциальная энергия капсулы в начальном состоянии (на бесконечности, где $U_p^{(i)} = 0$ ). $U_p^{(f)}$ – конечная потенциальная энергия капсулы, на глубине $h, U_p^{(s)}$ – потенциальная энергия капсулы у поверхности планеты, определяемая формулой

U_p^{(s)} = -\frac{G\, m \mathfrak{M}_{\text{☿}}^{(0)}}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}}. \qquad (69)

Из (68) и (69) следует, что

U_p^{(f)} = U_p^{(s)} + (U_p^{(f)} - U_p^{(s)}) = -\frac{G\, m \mathfrak{M}_{\text{☿}}^{(0)}}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}} + A_1 \qquad (70)

здесь $A_1$ – работа силы притяжения по перемещению капсулы от поверхности до глубины $h$ , которую можно записать как

A_1 = \bar{F}_g \cdot ((\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h) - \mathfrak{R}_{\text{☿}}) = mg_0 \left(1 - \frac{h}{2\mathfrak{R}_{\text{☿}}}\right) \cdot (-h) = mg_0 \left(\frac{h^2}{2\mathfrak{R}_{\text{☿}}} - h\right) \qquad (71)

здесь $\bar{F}_g$ – среднее значение силы тяжести на интервале $(\mathfrak{R}_{\text{☿}} - h, \mathfrak{R}_{\text{☿}})$ . Из (70) и (71) следует, что потенциальная энергия на глубине $h$ есть

U_p^{(h)} = -\frac{G\, m \mathfrak{M}_{\text{☿}}^{(0)}}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}} + mg_0 \left(\frac{h^2}{2\mathfrak{R}_{\text{☿}}} - h\right) \qquad (72)

или

U_p^{(h)} = -mg_0 \mathfrak{R}_{\text{☿}} + mg_0 \left(\frac{h^2}{2\mathfrak{R}_{\text{☿}}} - h\right) = mg_0 \left(\frac{h^2}{2\mathfrak{R}_{\text{☿}}} - h - \mathfrak{R}_{\text{☿}}\right). \qquad (73)

5. Второй космической скоростью называется минимальная скорость капсулы, при которой ее полная механическая энергия равна нулю, т.е.

\frac{m\, V_{\mathrm{II}}^2}{2} + U_h(h) = 0, \ \Rightarrow \ V_{\mathrm{II}}(h) = \sqrt{2\, g_0 \mathfrak{R}_{\text{☿}} \left(1 + \frac{h}{\mathfrak{R}_{\text{☿}}} - \frac{h^2}{2\mathfrak{R}_{\text{☿}}^2}\right)}. \qquad (74)

6. Как было показано выше, период обращения капсулы не зависит от глубины $h$ , и равен периоду обращения спутника у его поверхности. Следовательно, радиус орбиты спутника связи равен радиусу планеты, т.е.

r = \mathfrak{R}_{\text{☿}}. \qquad (75)

На больших $r$ от центра планеты период будет лишь больше.

Ответ: к задаче представлен выражениями (65), (66), (67), (73), (74), (75). (15 баллов).

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ · кг $^{-1}$ $\cdot\ c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/c
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2$ · c $^{-2}$ ·K $^{-1}$ · моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}$ ·K $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·c $^{-1}$ ·Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;

\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;

\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;

\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};

(1 + x)^n \approx 1 + n\,x;

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось		Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики	Период обращения	Синодический период
	млн. км	а.е.		градусы		сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса		Радиус		Плотность	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	массы Земли	км	радиусы Земли	г·см $^{-3}$		градусы
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса	Радиус	Плотность	Радиус орбиты	Период обращения	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	км	г·см $^{-3}$	км	сут
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике и график для уравнения времени

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. A.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-1]_8-9 classes.pdf