Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 12. Связь светимости и яркости для ламбертовского излучателя

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур №2, 10–11 классы · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивные оригиналы содержат18 самостоятельно пронумерованных задач трех уровней с полным соответствующим авторским ключом; каждый связанный набор пунктов сохранен в одной целой задаче. Общая длительность и сумма баллов не напечатаны и не выдуманы. Все74физические страницы двух оригиналов прочитаны, включая повтор условий, обложки и повтор справочного приложения. Полное восьмистраничное приложение представлено исходными научными изображениями. Отдельные бланки ответа в полной полученной папке не перечислены; исходные незаполненные таблицы1/2 сохранены. Декоративные изображения обложек и разделителей не научные диаграммы.

Печатные расхождения и ошибки оригинала:

В условии задачи12 формула(4) использует superscript ext, формула(5) — extr; обе исходные записи сохранены.

В повторе условия15 внутри ключа напечатано «угловую площадь» и ссылка на(91), тогда как отдельный вопрос просит «площадь» и ссылается на(7). Первичное условие сохранено; оба различия повторенного вопроса ключа явно атрибутированы.

Подпись рисунка4 в первичном условии16 напечатана «к определению яркости»; в повторе условия внутри ключа она «к определению профиля поверхности и хода световых лучей». Первичная подпись сохранена с атрибуцией варианта.

В формуле(69) ключа верхний предел последнего интеграла по d(2θ) напечатан π/2, хотя далее результат равен π. Печатная запись не исправлена.

Подпись рисунка14 ключа говорит «летне-осеннего треугольника», хотя задача15 — про весенний треугольник. В рисунке13 метка F1 напечатана дважды. Исходные подписи сохранены.

В ненумерованном дискриминанте после(97) ключа отсутствует множитель4 во втором слагаемом, тогда как далее(98) и(99) дают напечатанный предел. Весь исходный вывод сохранен.

В ключе17 ссылка перед выводом(116) напечатана(134), хотя локальная формула энергии имеет номер(114). В последнем случае классификации орбит напечатан символ ∪ вместо ε; эта фактическая печатная запись сохранена. Ответ задачи17 повторяет ссылку(118) дважды.

Ключ задачи6 не дает ответа на последний вопрос условия о типах объектов, для которых уравнение неприменимо. Отсутствующий ответ не выдуман.

Ключ задачи18 рассматривает пункты в порядке2,3,1; этот исходный полный порядок сохранен. Все модельные предположения, численные значения, ссылки, две сноски и таблицы сохранены без нового исправленного решения.

Исходная обложка и уровни

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№2. Самара,2019г.

А. Уровень «Новичок»: задачи1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи7–12.

C. Уровень «Профи»: задачи13–18.

Полные исходные указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B)

и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура № 2 на проверку : 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Указание перед задачами (У4):

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Полные выходные данные и памятка авторского ключа (К2):

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

Полные исходные справочные данные А.1–А.10

А.1–А.3: основные физические константы, Солнце и начало сведений о Земле.

А.3–А.5: Земля, Луна и формулы приближенного вычисления.

А.6–А.7: орбитальные и физические характеристики Солнца и планет, единицы и сноски.

А.8: физические характеристики спутников планет и сноски.

А.9: диаграмма видимого годичного движения Солнца и график уравнения времени.

А.10: болометрические поправки.

Рис. А.3: диаграмма Герцшпрунга–Рассела.

Рис. А.4: периодическая таблица элементов в исходной ориентации.

Условие

В фотометрии небесных тел, для описания протяженного источника света, часто используют понятие фотометрической светимости¹ ( $M$ ). Под ней понимается световой поток, отбрасываемой единицей поверхности наружу по всем направлениям (в пределах значений $\theta$ от 0 до $\pi/2$ , где $\theta$ — угол, образуемый данным направлением с внешней нормалью к поверхности):

M=\frac{d\Phi_\ell^{ext}}{dS},\qquad (4)

здесь $d\Phi_\ell^{ext}$ — световой поток, испускаемый наружу по всем направлениям элементом поверхности $dS$ источника. Если светимость характеризует излучение света данным элементом поверхности по всем направлениям, то для характеристики излучения света в заданном направлении служит яркость $L$ . Направление всегда можно задать полярным углом $\theta$ (отсчитываемым от внешней нормали $\vec n$ к излучающей площадке $\Delta S$ ) и азимутальным углом $\varphi$ . Яркость определяется как отношение потока света, отброшенного элементарной площадкой $\Delta S$ в данном направлении, в телесный угол $d\Omega$ , к данному углу и проекции площадки $\Delta S$ на плоскость, перпендикулярную к выбранному направлению (см. рис. 3):

L=\frac{d\Phi_\ell^{extr}}{d\Omega\,\Delta S\cos\theta}.\qquad (5)

В общем случае яркость различна для разных направлений, т.е. $L=L(\theta,\varphi)$ . Одной из самых популярных моделей источника излучения является модель ламбертовского излучателя — это излучатель, у которого яркость постоянна и не зависит от направления. Докажите, что для ламбертовского источника справедливо равенство вида:

M=\pi L.\qquad (6)

(10 баллов).

¹ Не путать с астрофизической светимостью!

Решение

Решение.

Воспользуемся выражением (5) условия задачи и перепишем его в виде:

\frac{d\Phi_\ell^{extr}}{\Delta S}=L\cos\theta\,d\Omega.

Проинтегрируем последнее уравнение

\frac1{\Delta S}\int d\Phi_\ell^{extr}=L\int\cos\theta\,d\Omega,\Rightarrow\frac{\Delta\Phi_\ell^{extr}}{\Delta S}=L\int\cos\theta\,d\Omega.\qquad (62)

Очевидно, что левая часть (62) равна светимости – $M$ . Вычислим интеграл в правой части. Воспользуемся определением телесного угла (в случае сферической поверхности)

d\Omega=\frac{dS}{R^2}\qquad (63)

где $d S$ – элемент площади поверхности сферы, $R$ – ее радиус. Согласно рис. 10

dS=da\cdot db.\qquad (64)

Рис. 10: к определению элементарного телесного угла $d\Omega$. — Рис. 10: к определению элементарного телесного угла $d\Omega$ .

Далее введем декартову систему координат $OXY Z$ . Относительно нее определим сферическую систему координат $(R, \theta , \varphi )$ , посредством следующих соотношений:

\left.\begin{gathered}x=R\cos\varphi\sin\theta,\\y=R\sin\varphi\sin\theta,\\z=R\cos\theta\end{gathered}\right\}.\qquad (65)

Тогда стороны малого прямоугольника площадки $dS$ запишутся так

\left.\begin{gathered}da=r\,d\varphi=R\sin\theta\,d\varphi,\\db=R\,d\theta\end{gathered}\right\}.\qquad (66)

Из (64), (66) следует, что

dS=R^2\sin\theta\,d\varphi\,d\theta.\qquad (67)

Из (63) и (67) получаем выражение для $d\Omega$ :

d\Omega=\sin\theta\,d\varphi\,d\theta.\qquad (68)

Очевидно, любая плоская площадка высвечивает излучение в полусферу, для которой границы изменения углов есть

0\le\theta\le\frac\pi2,\quad0\le\varphi\le2\pi.

Следовательно, интеграл (62) можно записать двойным интегралом вида:

I=\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\varphi\,d\theta.

Последний интеграл можно легко свести к повторному интегралу, поскольку подынтегральная функция не зависит от угла $\varphi$ :

I=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=2\pi\frac12\int_0^{\pi/2}\sin2\theta\,d\theta=\frac\pi2\int_0^{\pi/2}\sin2\theta\,d(2\theta)=\pi.\qquad (69)

Из (62) и (69) следует, что
$M = \pi L,$

что и требовалось доказать.
Ответ:

( $\char"24_{max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf