Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 10. «Либрации Луны и взгляд за горизонт»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1 · 8 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2020 тура № 1 на проверку: 15.10.2019-15.01.2020!!!
Электронный ящик SamRAS-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

Как известно, Луна в своем орбитальном движении вокруг Земли испытывает покачивания, называемые либрациями. Выделяют 4 вида либраций: а) либрацию по долготе, имеет амплитуду $A_1 = 7^{\circ}54'$ , 2) либрацию по широте с амплитудой $A_2 = 6^{\circ}50'$ , 3) суточную либрацию с амплитудой $A_3 = 57'$ и 4) физическую либрацию с амплитудой $A_4 = 2'$ . Чем обусловлен каждый вид либрации? Определите для каждого вида либрации долю той части поверхности спутника, которую мы способны увидеть с Земли лишь благодаря этому виду либрации? (8 баллов).

Отговори

Решение

Решение. а) Либрация по долготе обусловлена тем, что орбита движения Луны вокруг Земли есть эллипс. Согласно второму закону Кеплера, скорость движения Луны по орбите не постоянна, тогда как ее вращение вокруг своей оси происходит с почти постоянной скоростью. В результате, видимое земному наблюдателю вращение Луны неравномерно, и наблюдатель может немного «заглядывать» в отвернутое от Земли полушарие поочередно с восточного и с западного края. Период либрации по долготе называется аномалистическим месяцем.

б) Либрации по широте происходит вследствие наклона оси вращения Луны к плоскости орбиты ее движения вокруг Земли. При движении Луны вокруг Земли мы наблюдаем то южный, то северный полюс Луны. Период либрации по широте называется драконическим месяцем.

Схема: слева большой круг (Земля) с центром E, справа меньший круг (Луна) с центром M; из E проведены две касательные к Луне, касающиеся ее в точках A и B; на линии EM отмечены точка O1 на поверхности Земли и точка O2 на поверхности Луны; углы α между MA, MB и линией MO2 отмечены, при точках касания – прямые углы. — Рис. 6: к определению искомой величины.

в) Суточная либрация обусловлена относительной близостью Луны к Земле и параллаксом, порожденным вращением Земли. В результате суточного вращения наблюдателю становятся доступными сначала западные области Луны, затем восточные. Период данной либрации равен одним суткам.

г) Физическая либрация обусловлена приливными силами со стороны Земли и проявляется в небольшом изменении периода вращения Луны вокруг своей оси. Физическая либрация происходит по сложному закону.

Для определения искомой доли рассмотрим рис. 6 (вид со стороны северного полюса орбиты Луны на систему «Земля-Луна»). Определим долю поверхности Луны, которую можно обозревать в данный момент с среднего расстояния $EM$ между телами. Поверхность, обозреваемая наблюдателем из точки $E$ , есть шаровой сегмент $AO_2B$ , площадь которого есть

S_{\text{шс}} = 2\pi\mathfrak{R}_{\text{☾}}^2(1 - \cos\alpha), \qquad (12)

где $\alpha$ – угол между радиусом Луны $MA = \mathfrak{R}_{\text{☾}}$ и направлением на центр Земли (из центра Луны). Из прямоугольного треугольника $\Delta\, AEM$ следует

\cos\alpha = \frac{\mathfrak{R}_{\text{☾}}}{\triangle_{\text{☾}}}, \ \ \alpha = \arccos\left(\frac{\mathfrak{R}_{\text{☾}}}{\triangle_{\text{☾}}}\right) = 89.741^{\circ}, \qquad (13)

здесь $EM = \triangle_{\text{☾}}$ . Учитывая также, что площадь всей поверхности Луны есть

S_{\text{☾}} = 4\,\pi\,\mathfrak{R}_{\text{☾}}^2,

тогда искомая доля есть

\eta_0 = \left(\frac{S_{\text{шс}}}{S_{\text{☾}}}\right)\cdot 100\% = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\mathfrak{R}_{\text{☾}}}{\triangle_{\text{☾}}}\right)\cdot 100\% = 49.8\%. \qquad (14)

Вычислим теперь долю поверхности Луны, которую можно видеть с учетом либрации. За счет либрации открываются взору два сферических двуугольника с углом раствора $A$ . (см. рис. 6). Значит полную площадь можно записать так

S_{\text{tot}} = S_{\text{шс}} + 2\,S_{\text{д}} = S_{\text{шс}} + 4\,A\,\mathfrak{R}_{\text{☾}}^2. \qquad (15)

Здесь мы учли, что площадь двуугольника есть

S = 2\,\alpha\,\mathfrak{R}^2.

Тогда искомая доля всей видимой поверхности Луны есть

\eta = \frac{S_{\text{tot}}}{4\pi\mathfrak{R}^2}\cdot 100\% = \eta_0 + \Delta\eta, \ \ \text{где}\ \ \Delta\eta = \frac{A}{\pi}\cdot 100\% \qquad (16)

здесь $A$ выражено в радианах, а $\Delta\eta$ определяет долю той части поверхности спутника, которую мы способны увидеть с Земли лишь благодаря этому виду либрации. Проводя численные расчеты для четырех либраций, в результате получаем значения представленные в таблице 2.

№	Либрации	Амплитуда	$\Delta\eta$	$\eta$
0	без либрации	89.741°	–	49.8
1	по долготе	7°54′	4.4%	54.2%
2	по широте	6°50′	3.8%	53.6%
3	суточная	57′	0.5%	50.3%
4	физическая	2′	0.019%	49.8%

Таблица 2: амплитуды либраций Луны и значения искомой доли ее поверхности.

Ответ: к задаче представлен в таблице 2. (8 баллов).

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ. A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ · кг $^{-1}$ $\cdot\ c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/c
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2$ · c $^{-2}$ ·K $^{-1}$ · моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}$ ·K $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·c $^{-1}$ ·Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;

\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;

\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;

\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};

(1 + x)^n \approx 1 + n\,x;

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось		Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики	Период обращения	Синодический период
	млн. км	а.е.		градусы		сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса		Радиус		Плотность	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	массы Земли	км	радиусы Земли	г·см $^{-3}$		градусы
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса	Радиус	Плотность	Радиус орбиты	Период обращения	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	км	г·см $^{-3}$	км	сут
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике и график для уравнения времени

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. A.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2020-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2020-1]_8-9 classes.pdf