Самара 2020, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. «Объем и масса водяного льда в лунном кратере»

• $\chi = \frac{1}{2}\left(\frac{H}{a}\right)\mathrm{tg}\,\varphi$ при $\varphi \le \varphi_0$, $\chi = 1 - \frac{1}{2}\frac{a}{H\,\mathrm{tg}\,\alpha}$ при $\varphi > \varphi_0$, $\varphi_0 = \mathrm{arctg}(a/H) = 73.3^{\circ}$; $M_{\max}^{(\text{ice})} = \rho_{\text{ice}}\,a^2 H\chi$ достигает максимума $2.2\cdot 10^{11}$ кг при $\varphi = 90^{\circ}$ (на лунных полюсах).

  Значение максимума $2.2\cdot 10^{11}$ кг взято из текста решения; на графике (рис. 10) кривая при $\varphi = 90^{\circ}$ доходит примерно до $2.7\cdot 10^{11}$ кг.

Решение. 1. Рассмотрим процесс падения солнечных лучей на кратер (см. рис. 8). Как известно, солнечный свет распространяется вдоль прямой "Солнце-Луна" в виде параллельных лучей. Солнечный свет несет с собой энергию, которая при поглощении ее веществом тратится на нагрев тела, плавление и сублимацию его вещества. Как известно возраст Луны и Солнца составляет не мене 4.5 млрд. лет. В течение такого большого промежутка времени вода должна испариться полностью со всех площадок поверхности Луны, открытых для солнечных лучей. Следовательно, лед может сохраниться лишь в неосвещенной части лунного кратера. Определим минимальное значение угла падения ($\alpha$) световых лучей на кратер, находящийся на освещенной Солнцем стороне Луны, на селеноцентрической широте $\varphi$ (см. рис. 8). Для этого учтем также, что угол между плоскостью эклиптики (большим кругом небосвода, которое описывает Солнце в своем годичном движении относительно далеких звезд) и лунным экватором является малым и составляет $1.5^{\circ}$. Поэтому, далее будем пренебрегать данным значением и полагать, что плоскости эклиптики и лунного экватора совпадают, а солнечные лучи распространяются параллельно данным плоскостям.

Согласно рис. 8 угол падения $\alpha$ образован падающим лучом ОК и продолжением радиуса планеты CK. Заметим также, что прямая $QQ'$ параллельна ОК.

Следовательно, к данным прямым прямая СК является секущей. Из курса геометрии известно, углы при параллельных прямых и секущей должны быть одинаковыми. Следовательно, угол $\alpha = \varphi$, то есть, селеноцентрическая широта местности равна углу падения световых лучей от Солнца в полдень. Далее определим долю от полного объема ударного кратера, которая будет находиться в тени от солнечных лучей. К сожалению, решить эту задачу для круглого цилиндра не представляется возможным, поскольку решение данной проблемы связано с процедурой интегрирования. Чтобы решить поставленную задачу, перейдем к рассмотрению кратера в форме параллелепипеда со сторонами $a \times a \times H$. Основанием параллелепипеда является квадрат со стороной $a$. Определим сторону основания $a$. Как известно, объем параллелепипеда с квадратным основанием $a$ и высотой $H$ представляется выражением вида:

Рассмотрим данный параллелепипед, находящийся на селеноцентрической широте $\varphi$. Световые лучи от Солнца будут падать на верхнюю границу кратера под углом $\varphi$ (см. рис. 9). Часть объема кратера будет находиться в тени, следовательно, в этой области может находиться лед. Определим долю от полного объема кратера, которую может составлять объем области, находящейся в тени. Для этого заметим, что возможны две ситуации: когда дно кратера частично освещается (см. рис. 9.а); частично освещаются лишь боковые стенки кратера, дно остается в тени (см. рис. 9.б).

Рассмотрим подробнее первую ситуацию. В этом случае область тени, заключенная внутри кратера – параллелепипеда, является треугольной призмой (геометрической фигурой, у которой есть два одинаковых основания, являющихся треугольниками, а боковые грани – прямоугольники, плоскости которых перпендикулярны основаниям, см. рис. 9.а). Объем данной фигуры представляется в виде:

где $S_{\text{т}}$ – это площадь прямоугольного треугольника, находящегося в основании призмы. Согласно рис. 9.а) данную площадь можно представить в виде:

здесь мы учли, что $EC = H\ \mathrm{tg}\,\varphi$, $CB = H$. В итоге объем $V_{\text{т}}$ представляется выражением:

Найдем искомую долю $\chi_1$:

Рассмотрим вторую ситуацию. В данном случае область, заполняемая солнечным светом, представляет собой треугольную призму, площадь основания которой есть

Здесь мы учли, что $AE = f$. Кроме того, из треугольника ABE следует, что

Определим объем части кратера, заполненной светом:

Следовательно, часть кратера, приходящаяся на тень, есть призма, в основании которой находится трапеция, объем которой

Найдем искомую долю $\chi_2$:

Пограничное состояние между указанными ситуациями достигается при условии $\varphi = \varphi_0$. Последний параметр должен удовлетворять условию:

В итоге искомую долю $x$ можно представить в виде:

Далее нетрудно определить максимальную возможную массу водяного льда в кратере:

где $\chi$ определяется выражением (52). На рис. 10 представлен график зависимости полной максимальной массы водяного льда кратера от селеноцентрической широты $\varphi$, для кратера с размерами $a = 1$ км, $H = 0.3$ км и массовой плотностью льда $\rho_{\text{ice}} = 920$ кг/м$^3$. Из рисунка видно, что функция $M_{\max}^{(\text{ice})}(\varphi)$ достигает максимального значения $2.2\cdot 10^{11}$ кг при $\varphi = 90^{\circ}$ (т.е., на лунных полюсах). При этом темпы изменения искомой массы больше при значениях $\varphi > \varphi_0 = 73.3^{\circ}$.

Ответ: к задаче представлен результатами (52)-(53) и графиком 10. (13 баллов).