Съдържание

Самара 2020, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 6. Сатурн и его спутник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 10-11 класс

Условие

На рис. 2 представлена фотография Сатурна и его спутника (обладающего атмосферой, более плотной чем земная), которая получена автоматической межпланетной станцией (АМС) «Кассини». Какой именно спутник Сатурна изображен на фото? Определите по фотографии:

Цветная фотография Сатурна, кольца видны с ребра как тонкая линия; тёмный диск спутника на фоне планеты у линии колец; тени колец на диске подписаны жёлтыми буквами A, B, C. — Рис. 2: фотография Сатурна и его спутника, полученная с борта АМС "Кассини".

а) угол падения солнечного света на кольца Сатурна, если экваториальный и полярный радиусы Сатурна равны $\Re_e = 60268$ км, $\Re_p = 54364$ км, а внутренний радиус кольца $C$ – $r = 74500$ км;

б) значения ширины колец A, B, C планеты, тени от которых отчетливо видны на диске планеты,

в) ширину щели Кассини между кольцами A и B,

г) расстояние от центра планеты до АМС на момент съемки.

Отговори

Решение

Решение.

1. На фото запечатлен Титан – крупнейший спутник Сатурна, обладающий плотной атмосферой (2 балла).

2. Заметим далее, что на фото фаза Сатурна больше 1/2. Следовательно, угол (фазовый) между направлением на Солнце и на АМС в момент съемки, если смотреть из центра планеты, меньше $90^{\circ}$ . Если внимательно рассмотреть тени колец, то можно заметить, что их ширина наиболее узкая и почти плоская непосредственно под Титаном. Следовательно, свет падает по прямой "Титан – центр Сатурна"(2 балла).

3. Как известно, плоскости колец всех классических планет лежат в экваториальной плоскости материнской планеты. Кольца планеты на фотографии видны с ребра, значит в момент съемки АМС пересекала экваториальную плоскость Сатурна (1 балл).

Та же фотография Сатурна, что в условии: кольца видны с ребра, спутник на фоне диска, тени колец подписаны A, B, C. — Рис. 8: фотография Сатурна и его спутника, полученная с борта АМС "Кассини".

4. По фотографии определим ее линейный масштаб. Для этого измерим полярный радиус Сатурна – $R_{\text{п}}$ =45 мм (здесь и далее Ваши значения могут отличаться от указанных при использовании фотографии в ином масштабе!), тогда искомый линейный масштаб снимка

\mu_{\ell} = \frac{\Re_p}{R_{\text{п}}} = 1208\ \text{км/мм}. \qquad (32)

Определим по фотографии (см. рис. 8) расстояние $h$ =3 мм от плоскости колец до верхней границы тени кольца $C$ в окрестности Титана. Этому значению соответствует высота $H_C$ (согласно рис. 9):

H_C = \mu_{\ell}\cdot h = 3624\ \text{км}. \qquad (33)

Согласно рис. 9, из $\Delta DEF$ , следует явное выражения для угла падения световых лучей на кольца:

\operatorname{ctg}\alpha = \frac{H}{r - \Re_e} = 0.255, \ \Rightarrow\ \alpha = 75.7^{\circ}. \ \text{(3 балла)} \qquad (34)

5. Рассмотрим $\triangle JHG$ , здесь $HG$ – истинная ширина тени от кольца А. Применим к нему теорему синусов:

\frac{JH}{\sin\angle G} = \frac{HG}{\sin\angle J}, \ \Rightarrow\ JH = \frac{\sin\angle G}{\sin\angle J}HG. \qquad (35)

Поскольку АМС снимала с большого расстояния систему "Сатурн", то на ее кадре запечатлена проекция тени $HK$ на картинную плоскость. Поскольку в пустоте свет распространяется прямолинейно, то, очевидно, $JH = \Delta\,R_A$ – ширина кольца $A$ . Отрезок $HK$ можно связать с истинной шириной тени $HG$ через соотношение

HK = HG\cdot\cos\beta, \qquad (36)

здесь $\beta$ – планетоцентрическая широта середины геометрической тени на поверхности планеты. Угол $\angle J$ в $\Delta JHG$ есть $90^{\circ} - \alpha$ , а угол $\angle G$ :

\angle G = 180^{\circ} - \angle J - \angle H = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) - (90^{\circ} + \beta) = \alpha - \beta. \qquad (37)

а) Голубой диск Сатурна с центром O, радиусы ℜe и ℜp; слева кольца A, ЩК, B, C в экваториальной плоскости, точка D, расстояние r; параллельные лучи под углом α дают тени колец на диске (точки E, F, M, H, J, L, K, G), высота HC, угол β; стрелка «Направление на АМС «Кассини»». б) Серый прямоугольный треугольник HKG с точкой L, угол β при H. — Рис. 9: к определению положений теней колец и их размеров.

Из (35)-(37) следует, что

\Delta R_A = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha}\cdot\frac{HK}{\cos\beta} = \Delta\,r_A(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta), \qquad (38)

здесь $\Delta r_A$ – ширина тени кольца, определяемая по рис. 9 в км. Из $\Delta LMO$ находим

\sin\beta = \frac{LM}{\bar{\Re}_S} = \frac{H_A}{\bar{\Re}_S}, \ \ \bar{\Re}_S = \frac{\Re_e + \Re_p}{2}, \qquad (39)

здесь $H_A = LM$ – расстояние от плоскости колец (экваториальной) до тени кольца $A$ в км, $\bar{\Re}_S$ – средний радиус планеты, определенный через экваториальный $\Re_e$ и полярный $\Re_p$ радиусы планеты. Тогда

\Delta\,R_A = \Delta r_A\left(\operatorname{tg}\alpha - \frac{H_A}{\sqrt{\bar{\Re}_S^2 - H_A^2}}\right) = \mu_{\ell}\,\Delta r'_A\left(\operatorname{tg}\alpha - \frac{\mu_{\ell}\,H'_A}{\sqrt{\bar{\Re}_S^2 - (\mu_{\ell}\,H'_A)^2}}\right), \ \text{(5 баллов)} \qquad (40)

здесь $\Delta r'_A, H'_A$ – ширина кольца А Сатурна и его расстояние от плоскости экватора планеты (в окрестности Титана), определенные по фотографии в мм. Аналогичные рассуждения справедливы в случае других колец и щели Кассини. Численные результаты измерений представлены в табл. 1.

Поскольку погрешность измерения линейкой составляет 1 мм, что соответствует величине 1208 км, то в пределах ошибки полученные значения (шестой столбец в табл. 1) уверенно согласуются с наиболее точными оценками, полученными профессионалами (седьмой столбец в табл. 1).

6. Определим расстояние до центра планеты. Заметим, что Титан, Сатурн и АМС фактически расположены на одной прямой. Следовательно, Титан ближе расположен к АМС на величину $a_T$ =1221850 км – большая полуось орбиты Титана. Определим диаметр Титана по фотографии $D_T$ =7 мм на поверхности Сатурна этому значению соответствует величина $x = D_T\cdot\mu$ =8456 км. С другой стороны с расстояния $\Delta - a_T$ под таким углом виден диаметр Титана $D_T$ =5150 км. Следовательно, можно составить пропорцию для равных углов с точки зрения АМС:

\frac{x}{\Delta} = \frac{D_T}{\Delta - a_T}, \ \Rightarrow\ \Delta = \frac{a_T\cdot x}{x - D_T} = 3.125\cdot10^{6}\ \text{км}. \ \text{(3 балла)} \qquad (41)

Ответ: к задаче представлен выражениями (34), (40), (41); табл. 1, Титан.

Объект	$H'$ , мм	$H$ , км	$\Delta r'$ , мм	$\Delta r$ , км	$\Delta\,R_{\text{наш}}$ , км	$\Delta\,R_{\text{про}}$ , км
Кольцо А	15	18120	3.5	3624	15178	14600
Кольцо B	10	12080	5.5	6644	24632	25500
Кольцо C	5	6040	4.0	4832	18444	17500
Щель Кассини	12	14496	1.0	1812	4423	4700

Таблица 1: численные значения, измеряемых по рис. 8 геометрических параметров колец и щели Кассини, а также вычисленные значения их ширины. (4 балла)

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Правильно назван спутник Сатурна (Титан)	2
Корректно определено направление распространения света	2
Правильно сделан вывод о положении АМС в момент съемки относительно плоскости колец (экваториальной плоскости)	1
Корректный расчет угла падения света на кольца (при отклонении $> 1^{\circ}$ , $> 3^{\circ}$ , $> 5^{\circ}$ )	3 (2, 1, 0)
Корректный вывод формулы для ширины кольца	5
Численный расчет значений ширины колец А,Б,С и щели Кассини (при выпадении из окна шириной $\pm 1208$ км -не зачет!)	4 (0)
Правильное определение расстояния от АМС до центра планеты (при отклонении $> \pm 10^5$ км, $> \pm 2\cdot10^5$ км , $> \pm 3\cdot10^5$ км)	3 (2, 1, 0)

Примечание к архивному источнику. Все значения таблицы 1 сохранены как напечатаны. При масштабе 1208 км/мм значения 3.5 мм для кольца А и 1.0 мм для щели Кассини не дают указанные рядом 3624 км и 1812 км соответственно. Исходный текст также определяет $\Delta r_A$ как ширину тени, но затем называет измеряемую по фотографии величину шириной кольца. Исправленные измерения или пересчитанное решение здесь не подставлены.

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Свеотовой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [2-1]OMOA[10-11classes-2020]_Tasks.pdf · решение от архива: [2-2] OMOA[10-11 classes-2020]_Solutions.pdf