Съдържание

Самара 2021, III кръг (очен), 10–11 клас — Задача 5. Ио и Европа в кадре КА "Новые горизонты"

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 10-11 класс · 20 април 2021 г.

Условие

Цветная фотография на черном фоне: вверху справа — диск Ио с освещенным серпом слева и голубоватым облаком извержения на верхнем краю, на которое указывает красная стрелка сверху; внизу слева — тонкий серп Европы. — Рис. 2: Бушующие вулканы Ио (указан один из них красной стрелкой) и безмолвие Европы с пролетного КА "Новые горизонты".

Пролетая мимо Юпитера, КА "Новые горизонты" запечатлел на одном фото два спутника этой планеты, причем Ио в момент съемки находился вблизи своей восточной элонгации, с позиции КА. На его поверхности отчетливо видно извержение вулкана. Определите по фотографии:

1) максимальную высоту выброса вещества с поверхности Ио из жерла вулкана, указанного стрелкой (см. рис. 2);

2) скорость выхода продуктов извержения с поверхности спутника;

3) массу вещества, выбрасываемого из жерла вулкана за одну секунду, если его диаметр оценивается в 5 м, а плотность магмы составляет $3000\ \text{кг/м}^3$ .

4) Оцените массу вещества, выброшенного за время его малого извержения, составляющего 3 суток,

5) и максимальную площадь покрытия поверхности спутника продуктами выброса.

6) Какое расстояние было между спутниками Юпитера на момент съемки?

7) На каких расстояниях от КА находились Ио и Европа в момент съемки?

Орбиты галилеевых спутников считать круговыми.

Отговори

Решение

Та же фотография Ио и Европы с желтыми построениями: вокруг Ио проведена окружность диска с диаметром d_I и отмечена высота выброса h у вулкана под красной стрелкой; для Европы проведена окружность с хордами AB и CD, их серединами E и F, перпендикулярами, пересекающимися в центре O, и диаметрами GK и HJ; отмечены точки A, B, C, D, E, F, G, H, J, K. — Рис. 5: к определению линейного диаметра Ио и высоты его вулкана.

Решение.

1. Для большей точности измерений отметим границу видимого диска Ио. Отметим профиль выброса (см. рис. 5). Определим диаметр спутника по фотографии $d_{\mathrm{I}} = 75$ мм и высоту выброса $h = 6.5$ мм. Учитывая, что радиус спутника Ио $\mathfrak{R}_{\mathrm{I}} = 1815$ км, составим пропорцию

\left.\begin{matrix} h & \rightarrow & H \\ d_{\mathrm{I}} & \rightarrow & 2\mathfrak{R}_{\mathrm{I}} \end{matrix}\right\} \ \Rightarrow\ H = 2\mathfrak{R}_{\mathrm{I}}\left(\frac{h}{d_{\mathrm{I}}}\right) = 315\ \text{км}.\ \text{(3 балла)} \qquad (27)

2. С использованием закона сохранения энергии определим скорость выхода продуктов извержения массы $\Delta m$ с поверхности спутника:

\frac{\Delta m V_0^2}{2} - \frac{G\Delta m \mathfrak{M}_{\mathrm{I}}}{\mathfrak{R}_{\mathrm{I}}} = -\frac{G\Delta m \mathfrak{M}_{\mathrm{I}}}{\mathfrak{R}_{\mathrm{I}} + H}, \ \Rightarrow

V_0 = \sqrt{2G\mathfrak{M}_{\mathrm{I}}\left(\frac{1}{\mathfrak{R}_{\mathrm{I}}} - \frac{1}{\mathfrak{R}_{\mathrm{I}} + H}\right)} = 0.986\ \text{км/с},\ \text{(2 балла)} \qquad (28)

здесь $\mathfrak{M}_{\mathrm{I}}$ – масса Ио, $G$ – универсальная гравитационная постоянная.

3. Определим поток массы продуктов извержения:

\Phi_m = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho\, \frac{\pi D_{\text{ж}}^2}{4}\, V_0 = 58.1 \cdot 10^6\ \text{кг/с} = 58.1 \cdot 10^3\ \text{тонн/с}.\ \text{(2 балла)} \qquad (29)

4. Оценим массу вещества, выброшенного за время малого извержения:

m_{\text{tot}} = \Phi_m\, \Delta t = 1.51 \cdot 10^{13}\ \text{кг}.\ \text{(1 балл)} \qquad (30)

5. Максимальную площадь покрытия оценим как площадь плоского круга, радиус которого равен максимальной дальности полета:

S = \pi L_{\max}^2, \quad \text{где } L_{\max} = \frac{V_0^2}{g_0} = \frac{V_0^2\, \mathfrak{R}_{\mathrm{I}}^2}{G\mathfrak{M}_{\mathrm{I}}} = 537\ \text{км}, \ \Rightarrow

S = 7.85 \cdot 10^{11}\ \text{м}^2 = 9.05 \cdot 10^5\ \text{км}^2.\ \text{(3 балла)} \qquad (31)

Более точный расчет максимальной площади покрытия поверхности спутника продуктами выброса с учетом кривизны его поверхности дает значение $9.27 \cdot 10^5\ \text{км}^2$ . Непосредственные измерения радиуса основания "купола" вещества, выбрасываемого с поверхности, дают значение 550 км, что соответствует значению площади $9.50 \cdot 10^5\ \text{км}^2$ .

Схема: в центре Юпитер (желтая точка в сером круге), сплошная окружность — орбита Ио радиусом a_I, штриховая — орбита Европы радиусом a_E; Ио (оранжевая точка) слева на орбите, ниже на одной вертикали Европа (серая точка) и КА (красная точка); между Ио и Европой отмечено расстояние Δ_IE. — Рис. 6: к определению взаимного расположения спутников и КА.

6-7. Определим радиус Европы по фотографии. Для этого построим две неблизкие хорды $AB$ и $CD$ , находим их центры $E$ и $F$ , проводим перпендикуляры через данные точки и находим точку их пересечения – точку $O$ . Определяем длины диаметров $GK = 79$ мм и $HJ = 79$ мм и вычисляем среднее значение радиуса:

r_E = \frac{1}{2}\,\frac{GK + HJ}{2} = 39.5\ \text{мм}.\ \text{(1 балл)} \qquad (32)

Из последнего результата следует, что Европа на момент съемки располагалась к КА ближе, нежели Ио. Поскольку спутники расположены близко на фотографии, то будем полагать что КА Ио и Европа были расположены на одной прямой.

Угловые радиусы спутников есть

\rho_E = \frac{\mathfrak{R}_E}{\Delta_E}, \quad \rho_{\mathrm{I}} = \frac{\mathfrak{R}_{\mathrm{I}}}{\Delta_{\mathrm{I}}}, \ \Rightarrow\ \frac{\rho_E}{\rho_{\mathrm{I}}} = \left(\frac{\mathfrak{R}_E}{\mathfrak{R}_{\mathrm{I}}}\right)\frac{\Delta_{\mathrm{I}}}{\Delta_E},

где $\Delta_{\mathrm{I}}$ , $\Delta_{\mathrm{E}}$ – расстояния от КА до Ио и Европы соответственно; $\mathfrak{R}_I$ , $\mathfrak{R}_E$ – их радиусы. С другой стороны отношение угловых размеров можно определить через отношение линейных на фотографии:

\frac{\rho_E}{\rho_{\mathrm{I}}} = \frac{r_E}{r_{\mathrm{I}}} = \frac{39.5}{37.5} = 1.053, \ \Rightarrow\ \eta = \frac{\Delta_{\mathrm{I}}}{\Delta_E} = \left(\frac{\rho_E}{\rho_{\mathrm{I}}}\right)\left(\frac{\mathfrak{R}_{\mathrm{I}}}{\mathfrak{R}_E}\right) = 1.218.\ \text{(2 балла)} \qquad (33)

Поскольку КА располагался в западной квадратуре для Ио, относительно материнской планеты, то согласно рис. 6, расстояние между спутниками можно определить по т. Пифагора:

\Delta_{\text{IE}} = \sqrt{a_E^2 - a_J^2} = 5.220 \cdot 10^5\ \text{км}.\ \text{(2 балла)} \qquad (34)

С другой стороны, согласно рисунку

\Delta_{\mathrm{I}} = \Delta_E + \Delta_{\text{IE}}, \quad \frac{\Delta_{\mathrm{I}}}{\Delta_E} = 1 + \frac{\Delta_{\text{IE}}}{\Delta_E} \ \Rightarrow

\Delta_E = \frac{\Delta_{\text{IE}}}{(\eta - 1)} = 2.39 \cdot 10^6\ \text{км}, \quad \Delta_{\mathrm{I}} = \Delta_E + \Delta_{\text{IE}} = 2.92 \cdot 10^6\ \text{км}.\ \text{(4 балла)} \qquad (35)

Ответ: к задаче представляется выражениями (27)-(31), (34)-(35).

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Корректное определение максимальной высоты выброса вещества с поверхности Ио в пределах интервала $315 \pm 50$ км	3
Определение скорости выхода продуктов извержения с поверхности спутника	2

Рекомендации для жюри (продолжение).

Выполненная часть решения задачи	Балл
Расчет потока массы вещества, выбрасываемого из жерла вулкана	2
Корректная оценка массы вещества, выброшенного за время малого извержения	1
Определение максимальной площади покрытия в пределах интервала $(8.50 \div 1.00) \cdot 10^5\ \text{км}^2$	3
Определение по фотографии линейного радиуса Европы + и отношения $\eta$	1+2
Расчет расстояния между спутниками $\Delta_{\text{IE}}$ на момент съемки	2
Корректный расчет расстояний от КА до Ио + Европы	2+2

Продолжительность

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8\ \text{м/с}$
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} {\cdot} \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} {\cdot} \text{К}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} {\cdot} \text{с}^{-3} {\cdot} \text{К}^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк = 206265 а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Свеотовой год – 1 св. г. $= 9.461 \cdot 10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} {\cdot} \text{с}^{-1} {\cdot} \text{Мпк}^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая визуальная звездная величина – $-26.74^m$
Видимая болометрическая звездная величина – $-26.80^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – $1360\ \text{Вт/м}^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – $600\ \text{Вт/м}^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\, 26'\, 21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – $5.52\ \text{г} {\cdot} \text{см}^{-3}$
Объемный состав атмосферы – $\mathrm{N_2}$ (78%), $\mathrm{O_2}$ (21%), Ar ( $\sim 1\%$ )

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 363300 км
Максимальное расстояние от Земли – 405500 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – $3.34\ \text{г} {\cdot} \text{см}^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см⁻³	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина∗
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут†	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час†	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

∗ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

† – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см⁻³	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина∗
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685†	0.7	13.5

∗ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

† – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;

\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\, \cos\alpha;

\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\, \sin\alpha;

\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};

(1 + x)^n \approx 1 + n\, x;

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [2-1]OMOA[10-11classes-2021-3Och]_Tasks.pdf · официални решения: [2-2] OMOA[10-11 classes-2021]_Solutions.pdf