Съдържание

Самара 2021, III кръг (очен), 7–9 клас — Задача 6. Истинная аномалия астероида (только для 9 классов)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 7-9 класс · 25 април 2021 г.

Условие

Астероид движется по эллиптической орбите с эксцентриситетом $\varepsilon = 0.5$ .

1. С использованием законов сохранения и свойств эллипса, получите аналитическое выражение для гелиоцентрической скорости астероида как функции ее гелиоцентрического расстояния.

2. С использованием канонического уравнения эллипса в декартовых координатах и его свойств, получите аналитическое выражение для гелиоцентрического радиуса-вектора астероида как функции истинной аномалии – угла между направлением на перигелий и текущим положением тела, если смотреть из основного фокуса эллипса (точки, где расположено Солнце).

3. Чему равна истинная аномалия астероида для точки его орбиты, в которой его скорость равна первой космической скорости для круговой орбиты, радиус которой равен большой полуоси орбиты астероида?

Отговори

Решение

Решение. 1. Получим аналитическое выражение для гелиоцентрической скорости астероида как функции гелиоцентрического расстояния до небесного тела. Запишем закон сохранения энергии для тела в двух точках: на расстоянии, равном большой полуоси эллипса ( $a$ ) и в произвольной точке, на расстоянии $r$ от Солнца:

\frac{m\,V^2}{2} - \frac{G\,m\mathfrak{M}_{\odot}}{r} = \frac{m\,V_a^2}{2} - \frac{G\,m\mathfrak{M}_{\odot}}{a},\ \Rightarrow\ V^2 = V_a^2 + 2\,G\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{a}\right).\ \text{(1 балл)} \qquad (19)

Запишем такое же уравнение в случае, когда тело находится на расстоянии $a$ и в перигелии

V_a^2 = V_q^2 + 2\,G\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{q}\right),\ \text{где}\ q = a(1 - \varepsilon),\ \text{(1 балл)} \qquad (20)

здесь $q$ – расстояние от Солнца до перигелия орбиты тела.

Запишем тоже выражение для тела, расположенного в перигелии, а затем в афелии своей орбиты,

V_q^2 = V_Q^2 + 2\,G\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{1}{q} - \frac{1}{Q}\right),\ \text{где}\ Q = a(1 + \varepsilon)

или

V_q^2 = V_Q^2 + \frac{2\,G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\left(\frac{1}{1 - \varepsilon} - \frac{1}{1 + \varepsilon}\right) = V_Q^2 + \frac{2\,G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\,\frac{2\varepsilon}{1 - \varepsilon^2}.\ \text{(1 балл)} \qquad (21)

С другой стороны, скорости в данных точках можно связать через закон сохранения момента импульса:

m\,V_q\,q = m\,V_Q\,Q,\ \Rightarrow\ V_Q = V_q\left(\frac{q}{Q}\right) = V_q\left(\frac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}\right).\ \text{(2 балла)} \qquad (22)

Подставим $V_Q$ из (22) в (21), в результате получаем:

\begin{aligned} &V_q^2\left(1 - \left(\frac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}\right)^2\right) = \frac{2\,G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\,\frac{2\varepsilon}{1 - \varepsilon^2},\ \Rightarrow\ V_q^2\left(\frac{4\varepsilon}{(1 + \varepsilon)^2}\right) = \frac{4\,G\mathfrak{M}_{\odot}\varepsilon}{a(1 - \varepsilon^2)},\ \Rightarrow\\ &V_q^2 = \frac{G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\left(\frac{1 + \varepsilon}{1 - \varepsilon}\right).\ \text{(1 балл)} \end{aligned} \qquad (23)

Подставим (23) в (20), в итоге имеем

V_a^2 = \frac{G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\left(\frac{1 + \varepsilon}{1 - \varepsilon}\right) - \frac{2\,G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\left(\frac{\varepsilon}{1 - \varepsilon}\right) = \frac{G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}.\ \text{(1 балл)} \qquad (24)

Подставляя (24) в (19), в итоге имеем

V = \sqrt{G\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}.\ \text{(2 балла)} \qquad (25)

Согласно условию задачи, $V = V_{\mathrm{I}}$ , где

V_{\mathrm{I}} = \sqrt{\frac{G\mathfrak{M}_{\odot}}{a}}, \qquad (26)

где $V_{\mathrm{I}}$ – первая космическая скорость, тогда

\frac{G\mathfrak{M}_{\odot}}{a} = G\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right),\ \Rightarrow\ r = a,\ \text{(1 балл)} \qquad (27)

т.о., гелиоцентрическое расстояние астероида равно большой полуоси его эллипса.

2. Получим аналитическое выражение для гелиоцентрического радиуса-вектора астероида как функции истинной аномалии (т.е. уравнение эллипса в полярных координатах). Для этого воспользуемся каноническим уравнением эллипса в декартовых координатах $OXY$ (см. рис. 6):

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b} = 1.\ \text{(1 балл)} \qquad (28)

Серый эллипс с центром O и осями X, Y; фокусы F₁ и F₂ на большой оси, от F₂ проведена ось Y₁ и ось X₁; отрезок c между O и F₂; малая полуось b на оси Y; перигелий П в точке a на правом конце большой оси; из F₂ проведён радиус-вектор r под углом φ к оси X₁. — Рис. 6: к определению истинной аномалии.

Перейдем в систему координат $F_2X_1Y_1$ посредством замены.

\{y_1 = y,\ \ x_1 = x - c\},\ \Rightarrow\ \frac{(x_1 + c)^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1.\ \text{(1 балл)}

Перейдем в полярную систему координат посредством замены

x_1 = r\,\cos\varphi,\ \ y_1 = r\,\sin\varphi, \qquad (29)

в итоге уравнение эллипса представляется в виде:

\frac{(r\,\cos\varphi + c)^2}{a^2} + \frac{(r\,\sin\varphi)^2}{b^2} = 1,\ \Rightarrow\ \frac{r^2\cos^2\varphi + 2c\,r\cos\varphi + c^2}{a^2} + \frac{r^2\sin^2\varphi}{b^2} = 1,\ \text{(1 балл)}

учитывая, что фокальное расстояние и малая полуось эллипса представляются в виде:

\begin{aligned} &c = \varepsilon a,\ \ b^2 = a^2(1 - \varepsilon^2),\ \Rightarrow\ \text{(2 балла)}\\ &\frac{r^2\cos^2\varphi + 2\varepsilon a r\cos\varphi + a^2\varepsilon^2}{a^2} + \frac{r^2\sin^2\varphi}{a^2(1 - \varepsilon^2)} = 1,\ \Rightarrow\\ &(r^2\cos^2\varphi + 2\varepsilon a r\cos\varphi + a^2\varepsilon^2)(1 - \varepsilon^2) + r^2\sin^2\varphi = a^2(1 - \varepsilon^2),\ \Rightarrow\\ &r^2(1 - \varepsilon^2\cos^2\varphi) + 2\varepsilon a r(1 - \varepsilon^2)\cos\varphi - a^2(1 - \varepsilon^2)^2 = 0,\ \Rightarrow\ \text{(1 балл)} \end{aligned} \qquad (30)

\begin{aligned} &D = 4\varepsilon^2a^2(1 - \varepsilon^2)^2\cos^2\varphi + 4a^2(1 - \varepsilon^2)^2(1 - \varepsilon^2\cos^2\varphi) = 4(1 - \varepsilon^2)^2a^2,\ \Rightarrow\\ &r_{1,2} = \frac{-2\varepsilon a(1 - \varepsilon^2)\cos\varphi \pm 2(1 - \varepsilon^2)a}{2(1 - \varepsilon^2\cos^2\varphi)},\ \Rightarrow\\ &r = \frac{(1 - \varepsilon^2)a}{1 + \varepsilon\cos\varphi}\ \ \text{или}\ \ r = \frac{p}{1 + \varepsilon\,\cos\varphi},\ \text{(2 балла)} \end{aligned} \qquad (31)

где $p = a(1 - \varepsilon^2)$ – фокальный параметр эллипса. Очевидно, $\varphi$ и есть истинная аномалия, поскольку данный угол откладывается от перигелия (П) орбиты астероида $^1$ .

3. Из (27) и (30) следует, что

a = \frac{a(1 - \varepsilon^2)}{1 + \varepsilon\,\cos\varphi},\ \Rightarrow\ \cos\varphi = -\varepsilon,\ \Rightarrow\ \varphi = \arccos(-\varepsilon) = 120^{\circ}.\ \text{(2 балла)} \qquad (32)

Ответ: к задаче представлен выражениями (25), (31), (32).

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Получено явное аналитическое выражение для гелиоцентрической скорости астероида в виде (25)	10
Получено уравнение эллипса в полярных координатах в виде (31)	8
Получено выражение и численное значение для искомой аномалии астероида в виде (32)	2

$^1$ Заметим, что второй корень полученного квадратного уравнения дает нефизическое уравнение эллипса, в котором гелиоцентрическое расстояние всегда меньше нуля, и поэтому он нас не интересует.

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Световой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая визуальная звездная величина – $-26.74^m$
Видимая болометрическая звездная величина – $-26.80^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 363300 км
Максимальное расстояние от Земли – 405500 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [1-1]OMOA[7-9classes-2021-3Och]_Tasks.pdf · официални решения: [1-2] OMOA[7-9 classes-2021]_Solutions.pdf